OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Куб. Формули, ознаки та властивості куба

Означення.
Куб (гексаедр) — це тривимірна фігура, яка складається з шести днакових квадратів так, що кожен квадрат повністю дотикається своїми чотирма сторонами до сторін інших чотирьох квадратів під прямим кутом. Куб є правильним багатогранником у якого грані утворені з квадратів. Також кубом можна назвати прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.
Зображення куба з позначеннями Зображення куба з позначеннями

Означення. Грань куба - це частина площини, обмежена сторонами квадрату.
- куб має шість граней;
- кожна грань куба перетинається з чотирма іншими гранями під прямим кутом та паралельна шостій грані;
- грані мають однакову площу, яку можна знайт искориставшись формулами для площі квадрата.
Означення. Ребро куба - це відрізок, утворений перетином двох граней куба.
- куб має дванадцять ребер;
- кожен кінець ребра з'єднаний з кінцями двох сусідніх ребер під прямим кутом;
- ребра куба мають однакову довжину.
Означення. Вершина куба - це найвіддаленіша точка від центру куба, яка лежить на перетині трьох граней куба.
- куб має вісім вершин;
- кожна вершина утворена тільки трьома гранями та трьома ребрами.
Означення. Центр грані куба (O1) - це рівновіддалена точка від усіх ребер грані куба.
Означення. Центр куба (O) - це рівновіддалена точка від усіх граней куба.
Означення. Вісь куба (i) - це пряма, яка проходить через центр куба та цетри двох паралельних граней куба.
- куб має три вісі;
- вісі куба взаємно перпендикулярні.
Означення. Діагональ куба (d1) - відрізок, який з'єднує протилежні вершини куба та проходить через центр куба.
- куб має чотири діагоналі;
- діагоналі куба перетинаються під прямим кутом та діляться навпіл у центрі куба;
- діагоналі куба мають однакову довжину.
Формула. Діагональ куба d1 через довжину ребра a:

d1 = a3

Означення. Діагональ грані куба (d2) - відрізок, який з'єднує протилежні кути грані куба та проходить через центр грані куба.
Формула. Діагональ грані d2 через довжину ребра a:

d2 = a2

Означення. Об'єм куба - це сукупність усіх точок в просторі, що обмежені гранями куба.
Формула. Об'єм куба через довжину ребра a:

V = a3

Формула. Об'єм куба через довжину діагоналі куба d1:
V = d13
3√3
Означення. Площа поверхні куба - це сукупність площин усіх граней.
Формула. Площа поверхні куба через довжину ребра a:

S = 6a2

Означення. Периметр куба - це сукупність довжин всіх ребер куба.
Формула. Периметр куба P через довжину ребра a:

P = 12a

сфера вписана в куб з позначеннями
Означення. Сферою вписаною в куб називається сфера, яка має центр спільний з центром куба та дотикається до центрів граней куба.
- всі шість граней куба є дотичними площинами до вписаної сфери;
- радіус вписаної сфери дорівнює половині довжини ребра a.
Формула. Радіус вписаної сфери r через довжину ребра a:
r = a
2
Формула. Об'єму вписаної сфери V через довжину ребра a:
V = π a3
6
Сфера описана навколо куба з позначеннями
Означення. Сферою описаною навколо куба називається сфера, яка має центр спільний з центром куба та дотикається до восьми вершин куба.
- радіус описаної сфери рівний половині довжини діагоналі (d1) куба.
Формула. Радіус описаної сфери R через довжину ребра a:
R = a3
2
Формула. Об'єму сфери описаної навколо куба V через довжину ребра a:
V = π a33
2

Властивості куба

1. В куб можна вписати тетраедр так, щоб всі чотири вершини тетраедра лежали на чотирьох вершинах куба, а всі шість ребер тетраедра лежатимуть на шести гранях куба і ребра будуть рівні діагоналі грані куба.
2. Куб описує октаедр так, що всі шість вершин октаедра лежать в центрах граней куба.
3. Октаедр описує куб так, щоб всі вісім вершин куба розташовані в центрах восьми граней октаедра.

Координати вершин куба

координати вершин куба
1. Координати вершин куба зі стороною a та вершиною D у початку декартової системи координат так, що ребра цієї вершини лежать на вісях координат:

A(a, 0, 0), B(a, a, 0), C(0, a, 0), D(0, 0, 0),
E(a, 0, a), F(a, a, a), G(0, a, a), H(0, 0, a).

координати вершин куба
2. Координати вершин куба з довжиною сторони 2a, у якого центр куба розташований в початку декартової системи координат так, що ребра куба паралельні вісям координат:

A(a, -a, -a), B(a, a, -a), C(-a, a, -a), D(-a, -a, -a),
E(a, -a, a), F(a, a, a), G(-a, a, a), H(-a, -a, a).

Означення. Одиничний куб - це куб, у якого довжина ребер дорівнює одиниці.

Перетин куба площиною

Перетин куба площиною
1. Якщо перетнути куб площиною, яка проходить через центр куба та центри двох протилежних граней, то в перерізі буде квадрат довжина сторони, якого буде дорівнювати довжені ребра куба. Ця площина ділить куб два рівних прямокутних паралелепіпеда.

Перетин куба площиною
2. Якщо перетнути куб з ребром a площиною, яка проходить через центр куба та два паралельних ребра, то в перерізі буде прямокутник зі сторонами a і a2, площею перерізу a22. Ця площина ділить куб дві рівні призми.

Перетин куба площиною
3. Якщо перетнути куб площиною, яка проходить через центр та середини шести граней, то в перерізі буде правильний шестикутник зі стороною a2/2, площею перерізу a2(3√3)/4. У куба одна з діагоналей (FC) кожної грані, що перерізаються, перпендикулярна до сторони шестикутника.

Перетин одиничного куба площиною
4. Якщо перетнути куб площиною, яка проходить через три вершини куба, то в перерізі буде правильний трикутник зі стороною a2, площею перерізу a23/2 та об'ємом більшої частини - 5a3/6 та меншої - a3/6. Одна з діагоналей куба (EC) перпендикулярна до площини перерізу та проходить через центр трикутника (M) та ділиться площиною в выдношенні MC:EМ = 2:1.


Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0
Приєднуйтесь до нас