OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Квадратне рівняння

Квадратне рівняння — це рівняння вигляду

a x2 + b x + c = 0,

де a не дорівнює 0.
Парабола

Геометричний зміст

Графіком квадратичної функції є парабола. Розв'язками (коренями) квадратного рівняння називають точки перетину параболи з віссю абсцис. Якщо парабола, яка описується квадратичною функцією, не перетинається з віссю абсцис, рівняння не має дійсних корнів. Якщо парабола перетинається з віссю абсцис в одній точці (вершині параболи), рівняння має один дійсний корінь (також кажуть, що рівняння має два співпадаючих кореня). Якщо парабола перетинає вісь абсцис в двох точках, рівняння має два дійсних кореня.

Якщо коефіцієнт a додатній, вітки параболи направлені вгору, якщо від'ємний — вітки параболи направлені вниз. Якщо коефіцієнт b додатній, то вершина параболи лежить в лівій півплощині, якщо від'ємний — в правій півплощині.

Вивід формули для розв'язання квадратного рівняння

Формулу для розв'язання квадратного рівняння
a x2 + b x + c = 0
можна отримати так:
  • перенесемо c в праву частину
    a x2 + b x = - c
  • помножимо рівняння на 4a
    (2a x)2 + 4a b x = - 4a c
  • додамо b2 до обох частин
    (2a x)2 + 4a b x + b2 = b2 - 4a c
  • в лівій частині виділимо повний квадрат
    (2a x + b)2 = b2 - 4a c
  • знайдемо квадратний корінь
    2a x + b = ± √b2 - 4a c
  • перенесемо b в праву частину
    2a x = - b ± √b2 - 4a c
  • розділимо рівняння на 2a
    x =  -b ± √b2 - 4a c
    2 a

Дискримінант квадратного рівняння

Дискримінантом
квадратного рівняння називають число яке дорівнює
D = b2 − 4ac

Квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами може мати від 0 до 2 дійсних коренів в залежності від значення дискримінанта:

  • коли D > 0 корнів два, и вони обчислюються за формулою
    x1,2 =  -b ± √D
    2 a
  • коли D = 0 корінь один (два рівних або співпадаючих коріня), кратності 2:
    x =  -b
    2 a
  • коли D < 0 дійсних коренів нема. Існують два комплексних кореня, які можна знайти за формулою
    x1,2 =  -b ± i-D
    2 a

Теорема Вієта

Зведеним квадратним рівнянням
називається рівняння, в якому коефіцієнт при x2 дорівнює одиниці. Таке рівняння може бути отримане діленням всього виразу на коефіцієнт a:
x2 + px + q = 0,
де p = ba, q = ca

Сума коренів зведеного квадратного рівняння

x2 + px + q = 0
дорівнює коефіцієнту p, взятому з оберненим знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену q:
      x1 + x2 = -p,      x1x2 = q.

Розклад квадратного рівняння на множники

Якщо відомі обидва кореня квадратного рівняння, його можна розкласти за формулою

ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)

Приклади розв'язання квадратних рівнянь

Наприклад. Знайти корені квадратного рівняння: 2x2 + 5x + 3 = 0
D = 52 - 4·3·2 = 25 - 24 = 1

x1 =  -5 + √1  = -1,
2·2
x2 =  -5 - √1  = -1 1
2·2 2

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0