OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"
Реєстрація Увійти Вийти

Таблиця інтегралів

Інтегрування - одна з основних математичних операцій. Знання таблиці відомих первісних та правил інтегрування будуть корисними при вирішенні завдань. На цій сторінці в таблицях зібрані приклади інтегралів, що найчастіше зустрічаються.

Як довільна константа інтегрування використовується число C, яке можна визначити, якщо відоме значення інтеграла в якійсь точці. Кожна функція має безліч первісних.

Основні формули Загальні правила інтегрування функцій Інтеграли від раціональних функцій Інтеграли від трансцендентних функцій Інтеграли від ірраціональних функцій Інтеграли від тригонометричних функцій
Онлайн калькулятор: Обрахунок інтегралів

Основні формули

1.  
∫ 0·dx = C
2.  
∫ a dx = ax + C      (a = const)
3.  
∫ xn dx = xn+1n + 1 + C      (n ≠ -1)
4.  
∫ dxx = ln |x| + C
5.  
∫ ax dx = axln a + C
6.  
∫ ex dx = ex + C
7.  
∫ sin x dx = -cos x + C
8.  
∫ cos x dx = sin x + C
9.  
∫ dxsin2 x = -ctg x + C
10.  
∫ dxcos2 x = tg x + C
11.  
∫ dxa2 - x2 = arcsin xa + C = -arccos xa + C      (x < a)
12.  
∫ dxa2 + x2 = 1a arctg xa + C = -1a arcctg xa + C
13.  
∫ dxa2 - x2 = 12a ln x + ax - a + C      (|x| ≠ a) - "Високий логарифм"
14.  
∫ dxx2 ± a2 = ln |x + x2 ± a2|
Завантажити таблицю інтегралів Pdf

Загальні правила інтегрування функцій

∫ c f(x) dx = c ∫ f(x) dx
∫ [ f(x) + g(x)] dx =  ∫ f(x) dx +  ∫ g(x) dx
∫ [ f(x) - g(x)] dx =  ∫ f(x) dx -  ∫ g(x) dx
∫ f(x)g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx -  ∫∫ g(x) dx df(x)

Інтеграли від раціональних функцій

1.  
∫ xn dx = xn+1n + 1 + C      (n ≠ -1)
2.  
∫ (ax + b)n dx = (ax + b)n+1a(n + 1) + C      (n ≠ -1)
3.  
∫ dxx = ln |x| + C
4.  
∫ dxax + b = 1a ln |ax + b| + C
5.  
∫ ax + bcx + d dx = acx + bc - adc2 ln |cx + d| + C
6.  
∫ dx(x + a)(x + b) = 1a - b ln |x + bx + a| + C
7.  
∫ dxx2 - a2 = 12a ln |x - ax + a| + C
8.  
∫ x dx(x + a)(x + b) = 1a - b (a ln |x + a| - b ln|x + b|) + C
9.  
∫ x dxx2 - a2 = 12 ln |x2 - a2| + C
10.  
∫ dxx2 + a2 = 1a arctg (xa) + C
11.  
∫ x dxx2 + a2 = 12 ln |x2 + a2| + C
12.  
∫ dx(x2 + a2)2 = 12a2 xx2 + a2 + 12a3 arctg (xa) + C
13.  
∫ x dx(x2 + a2)2 = -12 1x2 + a2 + C
14.  
∫ x dx(x2 + a2)3 = -14 1(x2 + a2)2 + C
15.  
∫ dxax2 + bx + c = 1b2 - 4ac ln2ax + b - b2 - 4ac2ax + b + b2 - 4ac + C     (b2 - 4ac > 0)
16.  
∫ dxax2 + bx + c = 14ac - b2 arctg2ax + b4ac - b2 + C     (b2 - 4ac < 0)
17.  
∫ x dxax2 + bx + c = 12a ln|ax2 + bx + c| - b2a∫ dxax2 + bx + c
18.  
∫ x dxax + b = 1a2(ax + b - b ln |ax + b|) + C
19.  
∫ x2 dxax + b = 1a3(12(ax + b)2 -2b(ax + b) + b2 ln |ax + b|) + C
20.  
∫ dxx(ax + b) = 1b ln ax + bx + C
21.  
∫ dxx2(ax + b) = - 1bx + ab2 ln ax + bx + C
22.  
∫ x dx(ax + b)2 = 1a2(ln |ax + b | + bax + b) + C
23.  
∫ x2 dx(ax + b)2 = 1a3(ax + b - 2b ln |ax + b | - b2ax + b) + C

Інтеграли від трансцендентних функцій

1.  
∫ ex dx = ex + C
2.  
∫ ax dx = axln a + C
3.  
∫ dxx ln x = ln |ln x| + C
4.  
∫ xn ln x dx = xn + 1(ln xn + 1 - 1(n + 1)2) + C
5.  
∫ eax ln x dx = eax ln xa - 1a∫eaxx dx
6.  
∫ xn lnm x dx = xn + 1n + 1 lnm x - mn + 1∫xn lnm - 1 x dx
7.  
∫ xnlnm x dx = -xn + 1(m - 1) lnm - 1 x + n + 1m - 1∫xnlnm - 1 x dx
8.  
∫ ln x dx = x ln x - x + C
9.  
∫ arcsin x dx = x arcsin x + 1 - x2 + C
10.  
∫ arctg x dx = x arctg x - ln 1 + x2 + C
11.  
∫ eax dx = eaxa + C
12.  
∫ x eax dx = eaxa2(ax - 1) + C
13.  
∫ axxn dx = ax(n - 1)xn - 1 + ln an - 1∫axxn - 1
14.  
∫ sh(x) dx = ch(x) + C
15.  
∫ ch(x) dx = sh(x) + C

Інтеграли від ірраціональних функцій

1.  
∫ dxax + b = 2aax + b + C
2.  
∫ ax + b dx = 23a(ax + b)1.5 + C
3.  
∫ x dxax + b = 2(ax - 2b)3a2ax + b + C
4.  
∫ xax + b dx = 2(3ax - 2b)15a2(ax + b)1.5 + C
5.  
∫ dx(x + c)ax + b = 1b - ac lnax + b - b - acax + b + b - ac + C     (b - ac > 0)
6.  
∫ dx(x + c)ax + b = 1ac - b arctgax + bac - b + C     (b - ac < 0)
7.  
∫ ax + bcx + d dx = 1c (ax + b)(cx + d) - ad - bccac arctg a(cx + d)c(ax + b) + C
8.  
∫ dxxax + b = 1b lnax + b - bax + b + b + C     (b > 0)
9.  
∫ dxxax + b = 1-b arctgax + b-b + C     (b < 0)
10.  
∫ dxx2ax + b = -ax + bbx - a2b∫ dxxax + b
11.  
∫ ax + bx dx = 2ax + b + b∫ dxxax + b
12.  
∫ a - xb + x dx = (a - x)(b + x) + (a + b)arcsinx + ba - x + C
13.  
∫ a + xb - x dx = -(a + x)(b - x) - (a + b)arcsinb - xa + x + C
14.  
∫ dxax2 + bx + c = 1a ln|2ax + b + a(ax2 + bx + c)| + C
15.  
∫ dxax2 + bx + c = -1a arcsin2ax + bb2 - 4ac + C
16.  
∫ ax2 + bx + c dx = 2ax + b4aax2 + bx + c + 4ac - b28a∫ dxax2 + bx + c
17.  
∫ x2 + a2 dx = x2x2 + a2 + a22 ln |x + x2 + a2| + C
18.  
∫ x2 - a2 dx = x2x2 - a2 - a22 ln |x + x2 - a2| + C
19.  
∫ dxx2 + a2 = ln|x + x2 + a2)| + C
20.  
∫ dxx2 - a2 = ln|x + x2 - a2)| + C
21.  
∫ x dxx2 + a2 = x2 + a2 + C
22.  
∫ x2 - a2x dx = x2 - a2 + a arcsin (xa) + C
23.  
∫ a2 - x2 dx = x2a2 - x2 + a22 arcsin (xa) + C
24.  
∫ a2 - x2x dx = a2 - x2 + a ln (xa + a2 - x2) + C
25.  
∫ dxa2 - x2 = arcsin (xa) + C
26.  
∫ x dxa2 - x2 = -a2 - x2 + C
27.  
∫ dxxa2 - x2 = 1a ln |xa + a2 - x2| + C

Інтеграли від тригонометричних функцій

1.  
∫ sin (x) dx = -cos (x) + C
2.  
∫ cos (x) dx = sin (x) + C
3.  
∫ sin2 (x) dx = x2 - 14 sin (2x) + C
4.  
∫ cos2 (x) dx = x2 + 14 sin (2x) + C
5.  
∫ sinn (x) dx = -1n sinn - 1 (x) cos (x) + n - 1n∫ sinn - 2 (x) dx
6.  
∫ cosn (x) dx = 1n cosn - 1 (x) sin (x) + n - 1n∫ cosn - 2 (x) dx
7.  
∫ dxsin (x) = ln|tg(x2)| + C
8.  
∫ dxcos (x) = ln|ctg(x2)| + C
9.  
∫ dxsin2 (x) = -ctg (x) + C
10.  
∫ dxcos2 (x) = tg (x) + C
11.  
∫ sin (x) cos (x) dx = -14cos (2x) + C
12.  
∫ sin2 (x) cos (x) dx = 13sin3 (x) + C
13.  
∫ sin (x) cos2 (x) dx = -13cos3 (x) + C
14.  
∫ sin2 (x) cos2 (x) dx = -18x - 132sin (4x) + C
15.  
∫ tg (x) dx = -ln |cos (x)| + C
16.  
∫ ctg (x) dx = ln |sin (x)| + C
17.  
∫ sin (x)cos2 (x) dx = 1cos (x) + C
18.  
∫ cos (x)sin2 (x) dx = -1sin (x) + C
19.  
∫ sin2 (x)cos2 (x) dx = tg (x) - x + C
20.  
∫ cos2 (x)sin2 (x) dx = -ctg (x) - x + C
21.  
∫ sin2 (x)cos (x) dx = ln|ctg(x2)| - sin (x) + C
22.  
∫ cos2 (x)sin (x) dx = ln|tg(x2)| + cos (x) + C
23.  
∫ dxsin (x) cos (x) = ln|tg(x)| + C
24.  
∫ dxsin2 (x) cos (x) = -1sin (x) + ln|ctg(x2)| + C
25.  
∫ dxsin (x) cos2 (x) = 1cos (x) + ln|tg(x2)| + C
26.  
∫ dxsin2 (x) cos2 (x) = tg(x) - ctg(x) + C
27.  
∫ dxsinn (x) = -1n - 1cos (x)sinn - 1 (x) + n - 2n - 1∫ dxsinn - 2 (x)
28.  
∫ tgn (x) dx = tgn - 1 (x)n - 1 - ∫ tgn - 2 (x) dx
29.  
∫ ctgn (x) dx = -ctgn - 1 (x)n - 1 - ∫ ctgn - 2 (x) dx
30.  
∫ sin (x) cosn (x) dx = -cosn + 1 (x)n + 1 + C
31.  
∫ cos (x) sinn (x) dx = sinn + 1 (x)n + 1 + C
Формули скороченого множення (a ± b)2 Формули і властивості степенів an Формули і властивості корнів n√a Формули і властивості логарифмів loga b Формули і властивості арифметичної прогресії an Формули і властивості геометричної прогресії bn Тригонометричні формули sin x cos x Обернені тригонометричні формули arcsin x Таблиця похідних ddx Таблиця інтегралів ∫x dx
Всі таблиці та формули
  Спробуйте онлайн калькулятори з теми границя функції та похідна функціїГраниця функції онлайнРозв'язання похідних онлайнПоказати всі онлайн калькулятори

  Спробуйте онлайн калькулятори для розрахунку інтегралівРозв'язання інтегралів онлайн.Розв'язання визначених інтегралів онлайн.Показати всі онлайн калькулятори

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0
Приєднуйтесь до нас