Паралелограм. Формули, ознаки та властивості паралелограма

Навігація по сторінці: Означення паралелограма Ознаки паралелограма Основні властивості паралелограма Сторони паралелограма Діагоналі паралелограма Периметр паралелограма Площа паралелограма

Означення.

Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні (лежать на паралельних прямих).

Паралелограми відрізняються між собою як розміром прилеглих сторін, так і кутами, проте протилежні кути однакові.


Рис.1		Рис.2

Ознаки паралелограма

Чотирикутник ABCD буде паралелограмом, якщо виконується хоча б одна з наступних умов:

1. Чотирикутник має дві пари паралельних сторін:

AB||CD, BC||AD

2. Чотирикутник має пару паралельних та рівних сторін:

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

3. В чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні:

AB = CD, BC = AD

4. В чотирикутнику протилежні кути попарно рівні:

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

5. В чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться навпіл:

AO = OC, BO = OD

6. Сума кутів чотирикутника прилеглих до будьякої сторони дорівнює 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠ABC = 180°

7. В чотирикутнику сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів його сторін:

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²

Основні властивості паралелограма

Квадрат, прямокутник та ромб - є паралелограмом.

1. Протилежні сторони паралелограма мають однакову довжину:

AB = CD, BC = AD

2. Протилежні сторони паралелограма паралельні:

AB||CD, BC||AD

3. Протилежні кути паралелограма однакові:

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

4. Сума кутів паралелограма дорівнює 360°:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Сума кутів паралелограма прилеглих до будьякої сторони дорівнює 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠ABC = 180°

6. Кожна діагональ ділить паралелограма на два рівних трикутника

7. Дві діагоналі ділять паралелограм на дві пари рівних трикутників

8. Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину розділяють одна одну навпіл:

AO = CO =	d₁
	2
BO = DO =	d₂
	2

9. Точка перетину діагоналей називається центром симетрії паралелограму

10. Сума квадратів діагоналей паралелограму дорівнює сумі квадратів його сторін:

AC² + BD² = 2AB² + 2BC²

11. Бісектриси протилежних кутів паралелограма завжди паралельні

12. Бісектриси сісідніх кутів паралелограма завжди перетинаються під прямим кутом (90°)

Сторони паралелограма

Формули визначення довжин сторін паралелограма:

1. Фрмула сторін паралелограма через діагоналі та кут між ними:

a =	√d₁² + d₂² - 2d₁d₂·cosγ	=	√d₁² + d₂² + 2d₁d₂·cosδ
	2		2

b =	√d₁² + d₂² + 2d₁d₂·cosγ	=	√d₁² + d₂² - 2d₁d₂·cosδ
	2		2

2. Формула сторін паралелограма через діагоналі та іншу сторону:

a =	√2d₁² + 2d₂² - 4b²
	2

b =	√2d₁² + 2d₂² - 4a²
	2

3. Формула сторін паралелограма через висоту та синус кута:

a =	h_b
	sin α

b =	h_a
	sin α

4. Формула сторін паралелограма через площу та висоту:

a =	S
	h_a

b =	S
	h_b

Діагоналі паралелограма

Означення.

Діагоналлю паралелограма називається будь-який відрізок який сполучає дві вершини протилежних кутів паралелограма.

Паралелограм має дві діагоналі - довшу, нехай будеd₁, та коротшу - d₂

Формули визначення довжини діагоналі паралелограма:

1. Формули діагоналей паралелограма через сторони та косинус кута β (за теоремрю косинусів)

d₁ = √a² + b² - 2ab·cosβ

d₂ = √a² + b² + 2ab·cosβ

2. Формули діагоналей паралелограма через сторони та косинус кута α (за теоремрю косинусів)

d₁ = √a² + b² + 2ab·cosα

d₂ = √a² + b² - 2ab·cosα

3. Формула діагоналі паралелограма через дві сторони та відому іншу діагональ:

d₁ = √2a² + 2b² - d₂²

d₂ = √2a² + 2b² - d₁²

4. Формула діагоналі паралелограма через площу, відому діагональ та кут між діагоналями:

d₁ =	2S	=	2S
	d₂·sinγ		d₂·sinδ

d₂ =	2S	=	2S
	d₁·sinγ		d₁·sinδ

Периметр паралелограма

Означення.

Периметром паралелограма називається сума довжин всіх сторін паралелограма.

Формули визначення довжини периметру паралелограма:

1. Формула периметру паралелограма через сторони паралелограма:

P = 2a + 2b = 2(a + b)

2. Формула периметру паралелограма через одну сторону та дві діагоналі:

P = 2a + √2d₁² + 2d₂² - 4a²

P = 2b + √2d₁² + 2d₂² - 4b²

3. Формула периметру паралелограма через одну сторону, висоту та синус кута:

P =	2(b +	h_b	)
		sin α

P =	2(a +	h_a	)
		sin α

Площа паралелограма

Означення.

Площею паралелограма називається простір який обмежений сторонами паралелограма, тобто в межах периметру паралелограма.

Формули визначення площі паралелограма:

1. Формула площі паралелограма через сторону та висоту, проведену до цієї сторони:

S = a · h_a
S = b · h_b

2. Формула площі паралелограма через дві сторони та синус кута між ними:

S = ab sinα

S = ab sinβ

3. Формула площі паралелограма через дві діагоналі та синус кутa між ними:

S =	1	d₁d₂ sin γ
	2

S =	1	d₁d₂ sin δ
	2

Формули з геометрії Трикутник. Формули та властивості трикутника

Квадрат. Формули та властивості квадрату

Прямокутник. Формули та властивості прямокутника

Паралелограм. Формули та властивості паралелограма

Ромб. Формули та властивості ромба

Трапеція. Формули та властивості трапеції

- Рівнобічна трапеція. Формули та властивості рівнобічної трапеції

- Прямокутна трапеція. Формули та властивості прямокутної трапеції

Правильний многокутник. Формули і властивості правильного многокутника

Коло, круг, сегмент, сектор. Формули та властивості

Еліпс. Формули та властивості еліпса

Куб. Формули та властивості куба

Прямокутний паралелепіпед. Формули та властивості прямокутного паралелепіпеду Призма. Формули, ознаки та властивості

Піраміда. Формули та властивості піраміди

Сфера, куля, сегмент та сектор. Формули та властивості

Циліндр. Формули та властивості циліндра

Конус. Формули та властивості конуса

Формули площі геометричних фігур S Формули периметра геометричних фігур P Формули об'єму геометричних фігур V Формули площі поверхні геометричних фігур S

Всі таблиці і формули

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!