OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Логарифм числа.

Логарифмом числа

b
за основою
a
називається показник степеня, до якого потрібно піднести основу
a
,  чтоб отримати число 
b
.

Позначення:

loga b
.

Читаємо: "логарифм від

b
за основою 
a
".

Знаходження логарифма рівносильне розв'язанню показникового рівняння:

Показникове рівняння:

ax=b,

 при умові a>0; a≠1; b>0, де 

x — показник степеня,

a — основа степеня,

b — степінь числа a.

 
 

Логарифмічне рівняння: 

loga b=x,

при умові a>0; a≠1; b>0,де

x — логарифм числа b

за основою a,

a — основа логарифма,

b — число, яке стоїть

під знаком логарифма.

 

Приклади:

25=32 ⇔ 5= log2 32;

34=81 ⇔ 4= log3 81;

log1/5 125=-3 

⇔ (1/5)-3=125;

log2 (1/16)=-4 

2-4=1/16;

 

Основна логарифмічна тотожність:

loga b,

при умові a>0; a≠1; b>0.

3log3 7,

3 -log3 = 1/3 log3 7=1/7,

log2 2 2log2 7=(log2 7)2=72,

1+log2 7 =2·log2 7= 2·7=14,

 

  

Десятковим логарифмом числа b  називається логарифм числа b   за основою 10 .

Позначення:  lg b =log10 

Властивість:    10lg b =b .

Приклади:

lg 10 =log10 10=1;

lg 100 =log10 100= log10 102=2 log10 10=2·1=2;

lg 1000 =log10 1000= log10 103=3 log10 10=3·1=3;

 lg 0,1 =log10  0,1= log10 10-1=-1 log10 10=-1;

 lg 0,01 =log10  0,01= log10 10-2=-2 log10 10=-2·1=-2;

 lg 0,001 =log10  0,001= log10 10-3=-3 log10 10=-3·1=-3.  

Свойства логарифмов 
  •  logb b =1 , b>0, b≠1,  оскільки  b1=b.

Логарифм числа за тією ж додатньою ( b>0 ) відмінною від нуля основою ( b≠1 ) рівний одиниці 1.

Приклади:

log10 10 =1;

log1/3 1/3 =1;

log7 x=1, звідси x=7;

 

  •  loga 1 =0 , a>0, a≠1, оскільки  a0=1.
Логарифм одиниці 1 за довільною додатньою ( a>0 ) відмінною від нуля ( a≠1 ) основою рівний нулю 0.

Приклади:

log19 1 =0;

log6 x =0, звідси x=1;

 

  •     loga(bc)=  loga b +   loga c ,  b>0, c>0,a>0,a≠1, — логарифм добутку.

Логарифм добутку рівний сумі логарифмів.

Приклади:

lg 18  =lg (6·3)= lg 6 + lg 3;

lg 50 + lg 2 =lg (50·2) =lg 100=2;

 
  •  loga(b/c)=  loga b —   loga c ,  b>0, c>0,a>0,a≠1, — логарифм дробу (частки).

Логарифм частки/дробу рівний різниці логарифмів діленого/чисельника та дільника/знаменника.

Приклади:

log4 4/7 =log4 4 –  log4 7 =

=1 – log4 7;

log3 5 –  log3 5/27 =

=log3 (5: 5/27) = log3 27 = 3;

 
  •  logabn= loga b,  b>0,a>0,a≠1, — логарифм степеня,
  •  logab1/n= 1/ loga b,  b>0,a>0,a≠1. 

Логарифм степеня рівний добутку показника та логарифма основи.

Приклади:

log4 64 = log4 43 = 3· log4 4 = 3·1 =  3 ;

lg 16 = lg 24 = 4· lg 2 ;

lg √343 = lg √73 = lg 73/2 = 3/2· lg 7 ;

11· lg x = lg x11;

 

  •  logamb =1/m · loga b,    b>0,a>0,a≠1,
  •  logambn=n/m · loga b,  b>0,a>0,a≠1,

Приклади:

log252= log522= 1/2· log 5 2;

log√77= log71/27= 1/(1/2)· log7 7= log7 7= 2·1=2;

log31/233/2= (3/2)/(1/2)· log3 3= log3 3= 3·1=3;

  •  loga b =1/ logb a;
  •  loga b = logc b /  logc a;  — перехід до нової основи

Приклади:

log611 · log116= log611 · 1/ log611= 1;

log73 · log35= log7 (log75/ log73)= log75; — перехід до нової основи

 

Логарифмуванням  називається знаходження логарифмів заданих чисел або виразів

Логарифмування

Прологарифмувати вираз за довільною основою a .

Використаємо правило: логарифм добутку.

1) x= 3abc;

logax= loga3+ logaa+ logab+ logac.

Використаємо правила: логарифм добутку, логарифм частки (дробу).

2) x= ab/4;

logax= logaa+ logab- logac.

Використаємо правила: логарифм добутку, логарифм степені.

3) x= 2m8n6;

logax= loga2+ 8logam+ 6logan.

 

Потенціювання  називається знаходження чисел (виразу) за заданому логарифму числа (виразу).

Потенціювання

Потенціювати вираз та знайти х .

Суму логарифмів замінимо логарифмом добутку:

1) lgx= lg2+ logm+ lgn;

lgx= lg2mn;

x= 2mn.

Запишемо правило, обернене логарифму степеня та частки:

2) lgx= 5 lga- 7 lgb;

lgx= lga5- lgb7;

x= a5/b7.

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0