OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Десятковий логарифм

Означення. Логарифмом числа b за основою a, де a > 0, a ≠ 1, b > 0, називається показник степеню, до якого потрібно підвести основу a, щоб отримати число b.

Означення. Десятковий логарифмлогарифм за основою 10.

Іншими словами, десятковий логарифм числа b є розв'язком рівняння 10x = b.

Позначення. Десятковий логарифм позначається lg x або log x.

Калькулятор десяткових логарифмів

lg 2

Властивості десяткових логарифмів


Для будь яких x > 0 и y > 0 виконуються наступні властивості десяткових логарифмів.
  1. lg x = log10 x - так як основа десяткового логарифма рівна 10.

  2. 10lg b = b.

  3. lg 1 = 0

  4. lg 10 = 1

  5. lg 10n = n

  6. lg(x · y) = lg x + lg y

  7. lg xy = lg x - lg y

  8. lg xn = n lg x

  9. Графік функції y = lg x
  10. (lg x)′ = 1x ln 10

  11. lg x dx = x lg x - xln 10 + C
  12. lim lg x = -∞
    x → +0
Приклад 1. Знайти значення десяткового логарифму від чисел 100, 1000, 0.1, 0.01, 0.001.

lg 100 = lg 102 = 2

lg 1000 = lg 103 = 3

lg 0.1 = lg 10-1 = -1

lg 0.01 = lg 10-2 = -2

lg 0.001 = lg 10-3 = -3

Приклад 2.

Довести рівність: a lg b = b lg a.

Запишемо очевидну рівність:

lg b · lg a = lg a · lg ab

Піднесемо 10 до відповідного степеню

10lg b · lg a = 10lg a · lg b

(10lg b)lg a = (10lg a)lg b

blg a = alg b

Рівність доведено.

Приклад 3.

Знаючи, що lg 2 = a, lg 3 = b, lg 5 = c, виразити lg 6; lg 30; lg 16 через a, b, c.

Використавши формули логарифму добутку та степеню отримаємо:

lg 6 = lg (2·3)= lg 2 + lg 3 = a + b;

lg 30 = lg (5·2·3)= lg 5 + lg 2 + lg 3 = a + b + c;

lg 16 = lg 24= 4 · lg 2 = 4a.

Приклад 4.

Обчислити log9 5 · log25 27.

Перейдемо до основи 10:

log9 5 · log25 27 = lg 5lg 9 · lg 27lg 25

Використаємо властивість логарифму степеню lg xn = n lg x:

lg 5lg 9 · lg 27lg 25 = lg 5lg 32 · lg 33lg 52 = lg 52 lg 3 · 3 lg 32 lg 5 = 34

Приклад 5.

Обчислити log30 8, якщо lg 5 = a, lg 3 = b.

Перейдемо до основи 10:

log 30 8 = lg 8lg 30 = lg 23lg (3 · 10) =

Використаємо властивості логарифму добутку, частки та те що 2= 105:

= 3 lg 2lg 3 + lg 10 = 3 lg 2lg 3 + 1 = 3 lg 105lg 3 + 1 = 3(lg 10 - lg 5)lg 3 + 1 = 3(1 - lg 5)lg 3 + 1 =

Підставимо lg 5 = a, lg 3 = b:

= 3(1 - a)b + 1

Відповідь:

log30 8 = 3(1 - a)b + 1

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0