OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Логарифмічні нерівності

Означення. Логарифмічні нерівності - це нерівності, що містять змінну під знаком логарифма.

Наприклад: log3 (x2 - 3 x + 3) > 1.

При розв'язанні логарифмічних нерівностей пам'ятаємо:

  1. загальні властивості нерівностей;

  2. властивість монотонності логарифмічної функції;

  3. область визначення логарифмічної функції.

Основні методи розв'язування логарифмічних нерівностей

  1. loga f(x) > b a > 1   <=>   f(x) > ab
  2. loga f(x) > b 0 < a < 1   <=>   0 < f(x) < ab
  3. loga f(x) < b a > 1   <=>   0 < f(x) < ab
  4. loga f(x) < b 0 < a < 1   <=>   f(x) > ab
  5. logg(x) f(x) > b   <=>   f(x) > g(x)b g(x) > 1 f(x) < g(x)b 0 < g(x) < 1 f(x) > 0
  6. logg(x) f(x) < b   <=>   f(x) < g(x)b g(x) > 1 f(x) > 0 f(x) > g(x)b 0 < g(x) < 1
  7. loga f(x) > loga h(x) a > 1   <=>   f(x) > h(x) h(x) > 0
  8. loga f(x) > loga h(x) 0 < a < 1   <=>   f(x) < h(x) f(x) > 0
  9. loga f(x) < loga h(x) a > 1   <=>   f(x) < h(x) f(x) > 0
  10. loga f(x) < loga h(x) 0 < a < 1   <=>   f(x) > h(x) h(x) > 0
  11. logg(x) f(x) > logg(x) h(x)   <=>   f(x) > h(x) g(x) > 1 h(x) > 0 f(x) < h(x) 0 < g(x) < 1 f(x) > 0
  12. logg(x) f(x) < logg(x) h(x)   <=>   f(x) < h(x) g(x) > 1 f(x) > 0 f(x) > h(x) 0 < g(x) < 1 h(x) > 0

Приклади розв'язання логарифмічних нерівностей

Приклад 1.

Розв'язати нерівність log2 (x2 + 3x) ≤ 2.

Так як основа логарифму 2 > 1, то скористаємось третім методом для розв'язання нерівностей

log2 (x2 + 3x) ≤ 2   =>   0 < x2 + 3x ≤ 22   =>   x2 + 3x ≤ 4 x2 + 3x > 0   =>   x2 + 3x -4 ≤ 0 x(x + 3) > 0   =>   (x + 4)(x -1) ≤ 0 x(x + 3) > 0

Знайдемо спільний розв'язок:

x ∈ [-4; -3) ∪ (0; 1]

Відповідь: x ∈ [-4; -3) ∪ (0; 1].

Приклад 2.

Розв'язати нерівність logx - 3 (x - 1) < 2.

Використаємо другу схему для розв'язання нерівності

logx - 3 (x - 1) < 2   =>   x - 1 < (x - 3)2 x - 3 > 1 x - 1 > 0 x - 1 > (x - 3)2 0 < x - 3 < 1   =>   x - 1 < x2 - 6x + 9 x > 4 x > 1 x - 1 > x2 - 6x + 9 3 < x < 4   =>   x2 - 7x + 10 > 0 x > 4 x2 - 7x + 10 < 0 3 < x < 4   =>   (x - 2)(x -5) > 0 x > 4 (x - 2)(x -5) < 0 3 < x < 4   =>   x ∈ (-∞; 2) ∪ (5; +∞) x > 4 x ∈ (2; 5) 3 < x < 4   =>   x ∈ (5; +∞) x ∈ (3; 4)   =>   x ∈ (3; 4) ∪ (5; +∞)

Відповідь: x ∈ (3; 4) ∪ (5; +∞).

Приклад 3.

Розв'язати нерівність log20.5 x + log0.5 x - 2 ≤ 0.

ОДЗ x > 0.

Зробимо заміну log0.5 x = t

t2 + t - 2 ≤ 0

(t + 2)(t - 1) ≤ 0

-2 ≤ t ≤ 1

Повернемся до змінної x і з врахуванням ОДЗ розв'яжемо нерівність:

t ≥ -2 t ≤ 1   =>   log0.5 x ≥ -2 log0.5 x ≤ 1   =>  

Так як основа логарифму 0.5 < 1

  =>   x ≤ 0.5-2 x ≥ 0.51   =>   x ≤ 4 x ≥ 0.5

Відповідь: x ∈ [0.5; 4].

Приклад 4.

Розв'язати нерівність: log0.4 x + log0.4 (x - 1) ≥ log0.4 (x + 3).

ОДЗ: x > 0 x - 1 > 0 x + 3 > 0   =>   x > 0 x > 1 x > -3   =>   x > 1

Скориставшись властивістю, суми логарифмів, перепишемо нерівність:

log0.4 x(x - 1) ≥ log0.4 (x + 3)

Так як основа логарифму 0.4 < 1 використаємо 8 схему для розв'язання нерівностей, з врахуванням ОДЗ:

x(x - 1) ≤ x + 3 x > 1   =>   x2 - xx + 3 x > 1   =>   x2 - 2x - 3 ≤ 0 x > 1   =>   (x + 1)(x - 3) ≤ 0 x > 1

Знайдемо спільний розв'язок:

Відповідь: x ∈ (1; 3].

Приклад 5.

Розв'язати нерівність: (3 - 2x) log0.1 x < 0.

ОДЗ: x > 0

Знайдемо нулі функції, що стоїть в лівій частині нерівності:

(3 - 2x) log0.1 x = 0   =>   3 - 2x = 0 log0.1 x = 0   =>   x = 1.5 x = 1

Застосовуючи метод інтервалів, знайдемо розв'язок:

Відповідь: x ∈ (1; 1.5).

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0