OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Логарифмічні рівняння

Означення. Логарифмічні рівняння - це рівняння, що містять змінну під знаком логарифма.

Наприклад: log3 (3x - 2) = 4.

Розв'язання логарифмічних рівнянь ґрунтується на означенні логарифма, властивостях логарифмічної функції та властивостях логарифма.

Основні методи розв'язування логарифмічних рівнянь

  1. log a f(x) = b      <=>      f(x) = ab     a > 0, a ≠ 1.
  2. log f(x) g(x) = b   <=>   (f(x))b = g(x) f(x) > 0 f(x) ≠ 1 g(x) > 0
  3. log a f(x) = log a g(x)   <=>   f(x) = g(x) f(x) > 0   або   f(x) = g(x) g(x) > 0
  4. log f(x) g(x) = logf(x) h(x)   <=>   g(x) = h(x) f(x) > 0 f(x) ≠ 1 g(x) > 0   або   g(x) = h(x) f(x) > 0 f(x) ≠ 1 h(x) > 0
  5. loga f(x) + loga g(x) = loga h(x)   <=>   log a (f(x) g(x)) = log a h(x) f(x) > 0 g(x) > 0 h(x) > 0
  6. loga f(x) - loga g(x) = loga h(x)   <=>   log a f(x)g(x) = log a h(x) f(x) > 0 g(x) > 0 h(x) > 0
  7. n loga f(x) = loga h(x)   <=>   log a f(x)n = log a h(x) f(x) > 0 h(x) > 0
  8. log a (f(x) g(x)) = log a |f(x)| + log a |g(x)|

    log a f(x)g(x) = log a |f(x)| - log a |g(x)|

    log a (f(x))2n = 2n log a |f(x)|

Приклади розв'язання логарифмічних рівнянь

1. Використання означення логарифму

Приклад 1.

Розв'язати рівняння: log27 x = 23.

Спочатку знайдемо область допустимих значень рівняння (ОДЗ): x > 0

Перетворимо логарифмічне рівняння та виконаємо обчислення:

log27 x = 23   <=>   272/3 = x

x = 272/3 = (33)2/3 = 32 = 9

Відповідь: x = 9.

Приклад 2.

Розв'язати рівняння log2 (x - 3) = 4.

Знайдемо ОДЗ рівняння: x - 3 > 0   =>   x > 3

Із означення логарифма отримаємо:

x - 3 = 24 = 16

x = 16 + 3 = 19

Відповідь: x = 19.

Приклад 3.

Розв'язати рівняння logx (2x2 - 3x - 4) = 2.

Знайдемо ОДЗ рівняння: x > 0 x ≠ 1 2x2 - 3x - 4 > 0

Із означення логарифма отримаємо:

x2 = 2x2 - 3x - 4   =>   x2 - 3x - 4 = 0

Скориставшись теоремою Вієта легко знайти корені рівняння x2 - 3x - 4 = 0

x1 = 4, x2 = -1

Виберемо корені що входять до ОДЗ:

x1 = 4 - задовольняє всім умовам ОДЗ:

4 > 0 4 ≠ 1 2·42 - 3·4 - 4 = 32 - 12 - 4 = 16 > 0

x2 = -1 - не задовольняє першу умову з ОДЗ:

-1 < 0 -1 ≠ 1 2·(-1)2 - 3·(-1) - 4 = 2 + 3 - 4 = 1 > 0

Відповідь: x = 4.


2. Метод потенціювання

Приклад 4.

Розв'язати рівняння log3 (x2 - 4x - 5) = log3 (7 - 3x).

Знайдемо ОДЗ рівняння: x2 - 4x - 5 > 0 7 - 3x > 0

Замінимо логарифмічне рівняння рівносильним:

x2 - 4x - 5 = 7 - 3x

x2 - x - 12 = 0

Скориставшись теоремою Вієта легко знайти корені рівняння x2 - x - 12 = 0

x1 = 4, x2 = -3

Виберемо корені які входять до ОДЗ:

x1 = 4 - не задовольняє умовам ОДЗ:

42 - 4·4 - 5 = -5 < 0 7 - 3·4 = -5 < 0

x2 = -3 - задовольняє умовам ОДЗ:

(-3)2 - 4·(-3) - 5 = 16 > 0 7 - 3·(-3) = 16 > 0

Відповідь: x = -3.

Приклад 5.

Розв'язати рівняння lg (x - 9) + lg (2x - 1) = 2.

Знайдемо ОДЗ рівняння: x - 9 > 0 2x - 1 > 0   =>   x > 9 x > 0.5   =>   x ϵ (9; +∞)

Так як lg 100 = 2, то

lg (x - 9) + lg (2x - 1) = lg 100

Скористаємось властивістю, що сума логарифмів дорівнює логарифму добутку

lg (x - 9)(2x - 1) = lg 100

Замінимо логарифмічне рівняння рівносильним:

(x - 9)(2x - 1) = 100

2x2 - 19x + 9 = 100

2x2 - 19x - 91 = 0

Розв'яжемо квадратне рівняння:

D = 192 - 4·2·(-91) = 1089

x1 = 19 + √10892·2 = 19 + 334 = 13

x2 = 19 - √10892·2 = 19 - 334 = -3.5

ОДЗ задовольняє тільки один корінь x = 13

Відповідь: x = 13.


3. Метод заміни змінної, зведенням логарифмічного рівняння до алгебраїчного

Приклад 6.

Розв'язати рівняння 112lg2 x = 13 - 14lg x.

ОДЗ: x > 0.

Зробимо заміну змінної lg x = t:

112t2 = 13 - 14t

t2 = 4 - 3t

t2 + 3t - 4 = 0

Скориставшись теоремою Вієта легко знайти корені рівняння

t1 = -4

t2 = 1

Повернемося до змінної x

lg x = -4 lg x = 1   =>   x = 10-4 x = 10

Відповідь: рівняння має два кореня x1 = 0.0001 и x2 = 10.


4. Зведення логарифмічного рівняння до однієї основи

Приклад 7.

Розв'язати рівняння log4 x + log1/16 x + log8 x3 = 5.

ОДЗ: x > 0.

Скориставшись властивостями логарифмів зведемо логарифми в рівнянні до основи 2:

12log2 x - 14log2 x + log2 x = 5

(12 - 14 + 1)log2 x = 5

54log2 x = 5

log2 x = 4

x = 24 = 16

Відповідь: x = 16.


5. Логарифмування обох частин рівняння

Приклад 8.

Розв'язати рівняння xlg x = 100x.

ОДЗ: x > 0.

Прологарифмуємо обидві частини рівняння по основі 10, і використаємо властивість логарифма степеню і частки:

lg xlg x = lg 100x

lg x · lg x = lg 100 - lg x

lg2 x + lg x - 2 = 0

Виконаємо заміну змінної lg x = t:

t2 + x - 2 = 0

Скориставшись теоремою Вієта легко знайти корені рівняння

t1 = -2

t2 = 1

Повернемося до змінної x

lg x = -2 lg x = 1   =>   x = 10-2 x = 10

Відповідь: рівняння має два кореня x1 = 0.01 и x2 = 10.


6. Використання монотонності при розв'язанні логарифмічних рівнянь

Приклад 9.

Розв'язати рівняння log5 (x + 3) = 3 - x.

ОДЗ: x > 0.

y = log5 (x + 3) - монотонно зростаюча функція;

y = 3 - x - монотонно спадна функція;

Так як перша функція монотонно зростає, а друга монотонно спадає, то вони мають одну точку перетину, яка буде розв'язком початкового рівняння.

Підбором знайдемо розв'язок:

При x = 2   =>   log5 (2 + 3) = 1; 3 - 2 = 1

Відповідь: x = 2.

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0