Логарифмічні рівняння

Означення. Логарифмічні рівняння - це рівняння, що містять змінну під знаком логарифма.

Наприклад: log₃ (3x - 2) = 4.

Розв'язання логарифмічних рівнянь ґрунтується на означенні логарифма, властивостях логарифмічної функції та властивостях логарифма.

Основні методи розв'язування логарифмічних рівнянь

log _a f(x) = b <=> f(x) = a^b a > 0, a ≠ 1.
log _f(x) g(x) = b <=> (f(x))^b = g(x) f(x) > 0 f(x) ≠ 1 g(x) > 0
log _a f(x) = log _a g(x) <=> f(x) = g(x) f(x) > 0 або f(x) = g(x) g(x) > 0
log _f(x) g(x) = log_f(x) h(x) <=> g(x) = h(x) f(x) > 0 f(x) ≠ 1 g(x) > 0 або g(x) = h(x) f(x) > 0 f(x) ≠ 1 h(x) > 0
log_a f(x) + log_a g(x) = log_a h(x) <=> log _a (f(x) g(x)) = log _a h(x) f(x) > 0 g(x) > 0 h(x) > 0
log_a f(x) - log_a g(x) = log_a h(x) <=> log _a f(x)g(x) = log _a h(x) f(x) > 0 g(x) > 0 h(x) > 0
n log_a f(x) = log_a h(x) <=> log _a f(x)ⁿ = log _a h(x) f(x) > 0 h(x) > 0
log _a (f(x) g(x)) = log _a |f(x)| + log _a |g(x)|

log _a f(x)g(x) = log _a |f(x)| - log _a |g(x)|

log _a (f(x))²ⁿ = 2n log _a |f(x)|

Приклади розв'язання логарифмічних рівнянь

1. Використання означення логарифму

Приклад 1.

Розв'язати рівняння: log₂₇ x = 23.

Спочатку знайдемо область допустимих значень рівняння (ОДЗ): x > 0

Перетворимо логарифмічне рівняння та виконаємо обчислення:

log₂₇ x = 23 <=> 27^2/3 = x

x = 27^2/3 = (3³)^2/3 = 3² = 9

Відповідь: x = 9.

Приклад 2.

Розв'язати рівняння log₂ (x - 3) = 4.

Знайдемо ОДЗ рівняння: x - 3 > 0 => x > 3

Із означення логарифма отримаємо:

x - 3 = 2⁴ = 16

x = 16 + 3 = 19

Відповідь: x = 19.

Приклад 3.

Розв'язати рівняння log_x (2x² - 3x - 4) = 2.

Знайдемо ОДЗ рівняння: x > 0 x ≠ 1 2x² - 3x - 4 > 0

Із означення логарифма отримаємо:

x² = 2x² - 3x - 4 => x² - 3x - 4 = 0

Скориставшись теоремою Вієта легко знайти корені рівняння x² - 3x - 4 = 0

x₁ = 4, x₂ = -1

Виберемо корені що входять до ОДЗ:

x₁ = 4 - задовольняє всім умовам ОДЗ:

4 > 0 4 ≠ 1 2·4² - 3·4 - 4 = 32 - 12 - 4 = 16 > 0

x₂ = -1 - не задовольняє першу умову з ОДЗ:

-1 < 0 -1 ≠ 1 2·(-1)² - 3·(-1) - 4 = 2 + 3 - 4 = 1 > 0

Відповідь: x = 4.

2. Метод потенціювання

Приклад 4.

Розв'язати рівняння log₃ (x² - 4x - 5) = log₃ (7 - 3x).

Знайдемо ОДЗ рівняння: x² - 4x - 5 > 0 7 - 3x > 0

Замінимо логарифмічне рівняння рівносильним:

x² - 4x - 5 = 7 - 3x

x² - x - 12 = 0

Скориставшись теоремою Вієта легко знайти корені рівняння x² - x - 12 = 0

x₁ = 4, x₂ = -3

Виберемо корені які входять до ОДЗ:

x₁ = 4 - не задовольняє умовам ОДЗ:

4² - 4·4 - 5 = -5 < 0 7 - 3·4 = -5 < 0

x₂ = -3 - задовольняє умовам ОДЗ:

(-3)² - 4·(-3) - 5 = 16 > 0 7 - 3·(-3) = 16 > 0

Відповідь: x = -3.

Приклад 5.

Розв'язати рівняння lg (x - 9) + lg (2x - 1) = 2.

Знайдемо ОДЗ рівняння: x - 9 > 0 2x - 1 > 0 => x > 9 x > 0.5 => x ϵ (9; +∞)

Так як lg 100 = 2, то

lg (x - 9) + lg (2x - 1) = lg 100

Скористаємось властивістю, що сума логарифмів дорівнює логарифму добутку

lg (x - 9)(2x - 1) = lg 100

Замінимо логарифмічне рівняння рівносильним:

(x - 9)(2x - 1) = 100

2x² - 19x + 9 = 100

2x² - 19x - 91 = 0

Розв'яжемо квадратне рівняння:

D = 19² - 4·2·(-91) = 1089

x₁ = 19 + √10892·2 = 19 + 334 = 13

x₂ = 19 - √10892·2 = 19 - 334 = -3.5

ОДЗ задовольняє тільки один корінь x = 13

Відповідь: x = 13.

3. Метод заміни змінної, зведенням логарифмічного рівняння до алгебраїчного

Приклад 6.

Розв'язати рівняння 112lg² x = 13 - 14lg x.

ОДЗ: x > 0.

Зробимо заміну змінної lg x = t:

112t² = 13 - 14t

t² = 4 - 3t

t² + 3t - 4 = 0

Скориставшись теоремою Вієта легко знайти корені рівняння

t₁ = -4

t₂ = 1

Повернемося до змінної x

lg x = -4 lg x = 1 => x = 10^-4 x = 10

Відповідь: рівняння має два кореня x₁ = 0.0001 и x₂ = 10.

4. Зведення логарифмічного рівняння до однієї основи

Приклад 7.

Розв'язати рівняння log₄ x + log_1/16 x + log₈ x³ = 5.

ОДЗ: x > 0.

Скориставшись властивостями логарифмів зведемо логарифми в рівнянні до основи 2:

12log₂ x - 14log₂ x + log₂ x = 5

(12 - 14 + 1)log₂ x = 5

54log₂ x = 5

log₂ x = 4

x = 2⁴ = 16

Відповідь: x = 16.

5. Логарифмування обох частин рівняння

Приклад 8.

Розв'язати рівняння x^{lg x} = 100x.

ОДЗ: x > 0.

Прологарифмуємо обидві частини рівняння по основі 10, і використаємо властивість логарифма степеню і частки:

lg x^{lg x} = lg 100x

lg x · lg x = lg 100 - lg x

lg² x + lg x - 2 = 0

Виконаємо заміну змінної lg x = t:

t² + x - 2 = 0

Скориставшись теоремою Вієта легко знайти корені рівняння

t₁ = -2

t₂ = 1

Повернемося до змінної x

lg x = -2 lg x = 1 => x = 10^-2 x = 10

Відповідь: рівняння має два кореня x₁ = 0.01 и x₂ = 10.

6. Використання монотонності при розв'язанні логарифмічних рівнянь

Приклад 9.

Розв'язати рівняння log₅ (x + 3) = 3 - x.

ОДЗ: x > 0.

y = log₅ (x + 3) - монотонно зростаюча функція;

y = 3 - x - монотонно спадна функція;

Так як перша функція монотонно зростає, а друга монотонно спадає, то вони мають одну точку перетину, яка буде розв'язком початкового рівняння.

Підбором знайдемо розв'язок:

При x = 2 => log₅ (2 + 3) = 1; 3 - 2 = 1

Відповідь: x = 2.

Логарифми Логарифм числа, основна логарифмічна тотожність Формули і властивості логарифмів Логарифм добутку. Сума логарифмів Логарифм частки. Різниця логарифмів Логарифм степені Логарифм кореня Логарифмування Потенціювання Десятковий логарифм Натуральний логарифм Число е Логарифмічна функція Логарифмічні рівняння Логарифмічні нерівності

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!