Натуральний логарифм

• Означення
• Калькулятор
• Властивості

Калькулятор натуральних логарифмів

ln 0

Властивості натурального логарифму

Для будь яких x > 0 и y > 0 виконуються наступні властивості натуральних логарифмів.

1. ln x = log_e x - так як основа натурального логарифму дорівнює числу e.

2. e^{ln b} = b.

3. ln 1 = 0

4. ln e = 1

5. ln eⁿ = n

6. ln(x · y) = ln x + ln y

7. ln xy = ln x - ln y

8. ln xⁿ = n ln x

9. Графік функції y = ln x
   

10. ln x < ln y,     0 < x < y (ln x - зростаюча функція)

11. x1 + x ≤ ln (1 + x) ≤ x,     якщо x > -1

12. (ln x)′ = 1x

13. ∫	ln x dx = x ln x - x + C

14. lim	ln x = -∞
    x → +0

15. lim	ln (1 - x)x = 1
    x → +0

16. ln (1 + x) = ∑n = 1∞ (-1)^{n + 1}nxⁿ,     для |x| < 1 (ряд Макларена)

    ln (1 + x) = x - x²2 + x³3 - x⁴4 + ... + (-1)^{n + 1} xⁿn,     (|x| < 1)

17. Також ln a може бути визначено як площу, що знаходиться під кривою графіка 1x на ділянці від 1 до a,

    ln a = ∫1adxx