OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Елементарні перетворення матриці.

Означення.
Елементарні перетворення матриці — це такі перетворення матриці, в результаті яких зберігається еквівалентність матриці, тобто, елементарні перетворення не міняють множину розв'язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), яку представляє ця матриця.

Елементарні перетворення використовують в методі Гауса для зведення матриці до трикутного або ступінчастого виду.

Елементарними перетвореннями рядків називають:

  • перестановку місцями будь-яких двох рядків матриці;
  • множення на ненульову константу будь-якого рядка матриці;
  • додавання до будь-якого рядка матриці іншого рядка, помноженого на ненульове число.

Аналогічно визначаються елементарні перетворення стовпців.


Означення.
Матриці A та B називають еквівалентними матрицями, якщо від матриці A до матриці B перейшли за допомоги елементарних перетворень над рядками; позначають A ~ B.

Приклади елементарних перетворень матриць

Приклад 1.
Використовуючи елементарні перетворення рядків, перетворити матрицю A в верхню трикутну матрицю, де
A =  (  4  2  0  )
 1  3  2 
 -1  3  10 

Розв'язок:

поміняємо перший та другий рядок місцями

(  4  2  0  )  ~  (  1  3  2  )  ~ 
 1  3  2  4  2  0 
 -1  3  10  -1  3  10 

до 2-го рядка додати 1-ший, помножений на -4; до третього рядка додати перший

 ~  (  1  3  2  )  ~  (  1  3  2  )  ~ 
 4 + (-4)·1  2 + (-4)·3  0 + (-4)·2  0  -10  -8 
 -1 + 1  3 + 3  10 + 2  0  6  12 

2-ий рядок поділити на -2, третій рядок ділимо на 6

 ~  (  1  3  2  )  ~  (  1  3  2  )  ~ 
 0  -10/(-2)  -8/(-2)  0  5  4 
 0  6/6  12/6  0  1  2 

поміняємо другий та третій рядок місцями

 ~  (  1  3  2  )  ~ 
 0  1  2 
 0  5  4 

до 3-тього рядка додамо 2-ий, помножений на -5

 ~  (  1  3  2  )  ~  (  1  3  2  )
 0  1  2  0  1  2 
 0  5 + (-5)·1  4 + (-5)·2  0  0  -6 

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0