OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Визначник (детермінант) матриці.

Визначник матриці або детермінант матриці - це одна із основних числових характеристик квадратної матриці, що застосовується при розв'язанні багатьох задач.
Означення.
Визначник матриці n×n буде число:
det(A) = Σ(-1)N(α1,α2,...,αn)·aα11·aα22·...·aαnn
(α1,α2,...,αn)
де (α1,α2,...,αn) - перестановка чисел від 1 до n, N(α1,α2,...,αn) - число інверсій в перестановці, сумування йде по всім можливим перестановкам порядка n.
Позначення.
Визначник матриці A зазвичай позначають det(A), |A|, або ∆(A).

Властивості визначника матриці

  1. Визначник одиничної матриці рівний одиниці:

    det(E) = 1

  2. Визначник матриці з двома рівними рядками (стовпцями) рівний нулю.
  3. Визначник матриці з двома пропорційними рядками (стовпцями) рівний нулю.
  4. Визначник матриці, що містить нульовий рядок (стовпчик), рівний нулю.
  5. Визначник матриці рівний нулю, якщо два (або декілька) рядка (стовпця) матриці лінійно залежні.
  6. При транспонуванні значення визначника матриці не змінюється:

    det(A) = det(AT)

  7. Визначник оберненої матриці:

    det(A-1) = det(A)-1

  8. Визначник матриці не змінюється, якщо до будь-якого його рядка (стовпця) додати інший рядок (стовпчик), помножений на деяке число.
  9. Визначник матриці не змінюється, якщо до будь-якого його рядка (стовпця) додати лінійну комбінацію інших рядків (стовпців).
  10. Якщо поміняти місцями два рядки (стовпця) матриці, то визначник матриці змінить знак.
  11. Загальний множник в рядку (стовпчику) можна винести за знак визначника:
    a11a12...a1n
    a21a22...a2n
    ....
    k·ai1k·ai2...k·ain
    ....
    an1an2...ann
     = k
    a11a12...a1n
    a21a22...a2n
    ....
    ai1ai2...ain
    ....
    an1an2...ann
  12. Якщо квадратна матриця n-того порядка множиться на деяке ненульове число, то визначник отриманої матриці рівний добутку визначника початкової матриці на це число в n-тій степені:

    B = k·A   =>   det(B) = kn·det(A)

    де A матриця n×n, k - число.
  13. Якщо кожний елемент в будь-якому рядку визначника рівний сумі двох доданків, то початковий визначник рівний сумі двох визначників, в яких замість цього рядка стоїть перший та другий доданок відповідно, а решта рядків співпадають з початковим визначником:
    a11a12...a1n
    a21a22...a2n
    ....
    bi1 + ci1bi2 + ci2...bin + cin
    ....
    an1an2...ann
     = 
    a11a12...a1n
    a21a22...a2n
    ....
    bi1bi2...bin
    ....
    an1an2...ann
     + 
    a11a12...a1n
    a21a22...a2n
    ....
    ci1ci2...cin
    ....
    an1an2...ann
  14. Визначник верхньої (нижньої) трикутної матриці рівний добутку його діагональних елементів.
  15. Визначник добутку матриць рівний добутку визначників цих матриць:

    det(A·B) = det(A)·det(B)


Методи обчислення визначника матриці

Обчислення визначника матриці 1×1

Правило:
Для матриці першого порядка значення визначника рівне значенню елемента цієї матриці:

∆ = |a11| = a11


Обчислення визначника матриці 2×2

Правило:
Для матриці 2×2 значення визначника рівне різниці добутку елементів головної та побічної діагоналей:
∆ = 
a11a12
a21a22
 = a11·a22 - a12·a21
Приклад 1.
Знайти визначник матриці A
A = 
(57)
-41

Розв'язок:

det(A) = 
57
-41
 = 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33


Обчислення визначника матриці 3×3

Правило трикутника для обчислення визначника матриці 3-тього порядка

Правило:
Для матриці 3×3 значення визначника рівне сумі добутку елементів головної діагоналі та добутку елементів, що лежать на вершинах трикутника зі стороною, паралельною головній діагоналі, від якої віднімається добуток елементів побічної діагоналі та добутку елементів, що лежать на вершинах трикутника зі стороною, паралельною побічній діагоналі.
визначник + визначник -
+

∆ = 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =

a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 - a11·a23·a32 - a12·a21·a33

Правило Саррюса для обчислення визначника матриці 3-тього порядка

Правило:
Справа від визначника дописують перших два стовпця визначника, тоді такий детермінант дорівнює сумі добутку елементів на головній діагоналі та на діагоналях, що їй паралельні, та віднімають добуток елементів побічної діагоналі та діагоналей, що їй паралельні:
∆ = 
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
 =

a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 - a11·a23·a32 - a12·a21·a33

Приклад 2.
Знайти визначник матриці A
A = 
(571)
-410
203

Розв'язок:

det(A) = 
5 7 1
-4 1 0
2 0 3
 = 5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 - 1·1·2 - 5·0·0 - 7·(-4)·3 =

= 15 + 0 + 0 - 2 - 0 + 84 = 97



Обчислення визначника матриці довільного розміру

Розклад визначника по рядкам або стовпцям

Правило:
Визначник матриці рівний сумі добутку елементів рядка визначника на їх алгебраїчне доповнення:
n
det(A) = Σaij·Aij          - розклад по i-тому рядку
j = 1
Правило:
Визначник матриці рівний сумі добутку елементів стовпця визначника на їх алгебраїчне доповнення:
n
det(A) = Σaij·Aij          - розклад по j-тому стовпцю
i = 1

При розкладі визначника матриці зазвичай вибирають той рядок/стовпчик, в якому максимальна кількість нульових елементів.

Пример 3.
Знайти визначник матриці A
A = 
(241)
021
211

Розв'язок: Обчислимо визначник матриці, розклавши його по першому стовпцю:

det(A) = 
241
021
211
 =
= 2·(-1)1+1·
21
11
 + 0·(-1)2+1·
41
11
 + 2·(-1)3+1·
41
21
 =

= 2·(2·1 - 1·1) + 2·(4·1 - 2·1) = 2·(2 - 1) + 2·(4 - 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6


Приклад 4.
Знайти визначник матриці A
A = 
(2411)
0200
2113
4023

Розв'язання: Обчислимо визначник матриці, розклавши його по другому рядку (в ньому більше всього нулів):

det(A) = 
2411
0200
2113
4023
 =
= -0·
411
113
023
 + 2·
211
213
423
 - 0·
241
213
403
 + 0·
241
211
402
 =

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 - 1·1·4 - 2·3·2 - 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 - 4 - 12 - 6) = 2·0 = 0


Зведення визначника до трикутного виду

Правило:
Використовуючи властивості визначника для елементарних перетворень над рядками та стовпцями 8 - 11, визначник зводиться до трикутного виду, і тоді його значення буде рівне добутку елементів головної діагоналі.
Приклад 5.
Знайти визначник матриці A зведенням його до трикутного виду
A = 
(2411)
0210
2113
4023

Розв'язок:

det(A) = 
2411
0210
2113
4023

Спочатку отримаємо нулі в першому стовпчику під головною діагоналлю. Для цього віднімемо від 3-тього рядка 1-ий рядок, а від 4-ого рядка 1-ий рядок, помножений на 2:

det(A) = 
2411
0210
2 - 21 - 41 - 13 - 1
4 - 2·20 - 2·42 - 2·13 - 2·1
 = 
2411
0210
0-302
0-801

Отримаємо нулі в другому стовпці під головною діагоналлю. Для цього поміняємо місцями 2-ий та 3-тій стовпці:

det(A) = -
2141
0120
00-32
00-81

Отримаємо нулі в третьому стовпці під головною діагоналлю. Для цього до 3-го стовпця додамо 4-ий стовпчик, помножений на 8:

det(A) = -
214 + 8·11
012 + 8·00
00-3 + 8·22
00-8 + 8·11
 = -
21121
0120
00132
0001
 = -2·1·13·1 = -26

Теорема Лапласа

Теорема:
Нехай ∆ - визначник n-ого порядка. Оберемо в ньому довільні k рядків (стовпців), причому k < n. Тоді сума добутків всіх мінорів k-ого порядка, які містяться у вибраних рядках (стовпцях), на їх алгебраїчних доповненнях, рівна визначнику.

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0