OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Лінійно залежні та незалежні рядки.

Означення.
Лінійною комбінацією рядків s1, s2, ..., sl матриці A називається вираз

α1s1 + α2s2 + ... + αlsl

Означення.
Лінійна комбінація рядків називається тривіальною, якщо всі коефіцієнти αi одночасно рівні нулю.
Зауваження.
Тривіальна лінійна комбінація рядків рівна нульовому рядку.
Означення.
Лінійна комбінація рядків називається нетривіальною, якщо хоча б один із коефіцієнтів αi не рівний нулю.
Означення.
Система рядків називається лінійно залежною (ЛЗ), якщо існує їх нетривіальна лінійна комбінація, рівна нульовому рядку.
Означення.
Система рядків називається лінійно незалежною (ЛНЗ), якщо лише тривіальна лінійна комбінація рівна нульовому рядку (не існує їх нетривіальної лінійної комбінації, рівна нульовому рядку).
Зауваження.
Система рядків квадратної матриці лінійно незалежна тоді і лише тоді, коли визначник цієї матриці не рівен нулю.
Зауваження.
Система рядків квадратної матриці лінійно залежна тоді і лише тоді, коли визначник цієї матриці рівний нулю.
Приклад 1.
Показати, що система рядків {s1 = {2   5}; s2 = {4   10}} являється лінійно залежною.

Розв'язання. Складемо лінійну комбінацію цих рядків

α1{2   5} + α2{4   10}

Знайдемо, при яких значеннях α1, α2 ця лінійна комбінація рівна нульовому рядку

α1{2   5} + α2{4   10} = {0   0}

Дане рівняння еквівалентне наступній системі рівнянь:

{ 2α1 + 4α2 = 0
5α1 + 10α2 = 0

Розділимо перше рівняння на 2, а друге рівняння на 5:

{ α1 + 2α2 = 0
α1 + 2α2 = 0

Розв'язками цієї системи можуть бути будь-які числа α1 і α2 такі, що: α1 = -2α2, наприклад, α2 = 1, α1 = -2, а це означає, що рядки s1 і s2 линійно залежні.

Приклад 2.
Показати, що система рядків {s1 = {2   5   1}; s2 = {4   10   0}} являється лінійно незалежними.

Розв'язок. Складемо лінійну комбінацію цих рядків

α1{2   5   1} + α2{4   10   0}

Знайдемо, при яких значеннях α1, α2 ця лінійна комбінація рівна нульовому рядку

α1{2   5   1} + α2{4   10   0} = {0   0   0}

Дане рівняння еквівалентне наступній системі рівнянь:

{ 2α1 + 4α2 = 0
5α1 + 10α2 = 0
α1 + 0α2 = 0

Із 3-тього рівняння отримаємо α1 = 0, підставимо це значення в 1-ше і 2-ге рівняння:

{ 2·0 + 4α2 = 0    =>    { 4α2 = 0    =>    { α2 = 0
5·0 + 10α2 = 0 10α2 = 0 α2 = 0
α1 = 0 α1 = 0 α1 = 0

Так як лінійна комбінація рядків рівна нулю тоді, коли α1 = 0 і α2 = 0, то рядки лінійно незалежні.


Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0