OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Обернена матриця.

Означення.
Обернена матриця A−1 — матриця, добуток якої на початкову матрицю A рівний одиничній матриці E:

A·A-1 = A-1·A = E

Зауваження.
Обернена матриця існує лише для квадратних матриць, визначник яких не рівний нулю.

Властивості оберненої матриці

det(A-1) =  1
det(A)
(A·B)-1 = A-1·B-1
(A-1)T = (AT)-1
(kA)-1 A-1
k
(A-1)-1 = A

Методи обчислення оберненої матриці

Обчислення оберненої матриці за допомоги одиничної матриці (Метод Гауса—Жордана)

Теорема.
Якщо справа до квадратної матриці дописати одиничну матрицю того ж порядку і за допомоги елементарних перетворень над рядками перетворити отриману матрицю так, щоб початкова матриця стала одиничною, то матриця, отримана за допомоги одиничної, буде оберненою матрицею до початкової.
Зауваження.
Якщо при перетвореннях в лівій частині матриці утвориться нульовий рядок (стовпчик), то початкова матриця не матиме оберненої матриці.
Приклад 1.
Знайти обернену матрицю матриці A
A = (241)
021
211

Розв'язання: Дописуємо до матриці A справа одиничну матрицю третього порядку:

A|E = (241100) ~
021010
211001

Перетворимо ліву частину отриманої матриці в одиничну. Для цього від 3-тього рядка віднімемо 1-ий рядок:

(241100) ~ 
021010
2 - 21 - 41 - 10 - 10 - 01 - 0

 ~ (241100) ~
021010
0-30-101

Третій рядок поділимо на (-3) і поміняємо місцями з другим рядком:

(241100) ~ 
021010
0101/30-1/3

 ~ (241100) ~
0101/30-1/3
021010

Віднімемо від 1-го рядка 2-ий рядок, помножений на 4; від 3-го рядка 2-ий рядок, помножений на 2:

(2 - 4·04 - 4·11 - 4·01 - 4·(1/3)0 - 4·00 - 4·(-1/3)) ~ 
0101/30-1/3
0 - 2·02 - 2·11 - 2·00 - 2·1/31 - 2·00 - 2·(-1/3)

 ~ (201-1/304/3) ~
0101/30-1/3
001-2/312/3

Віднімемо від 1-ого рядка 3-ій рядок:

(2 - 00 - 01 - 1-1/3 - (-2/3)0 - 14/3 - 2/3) ~ 
0101/30-1/3
001-2/312/3

 ~ (2001/3-12/3) ~
0101/30-1/3
001-2/312/3

Поділимо 1-ий рядок на 2:

(1001/6-1/21/3)
0101/30-1/3
001-2/312/3

Відповідь: A-1(1/6-1/21/3)
1/30-1/3
-2/312/3

Обчислення оберненої матриці за допомоги союзної матриці

Означення.
Матриця Ã, елементи якої рівні алгебраїчним доповненням відповідних елементів матриці A, називається союзною матрицею.
A-1 1 ÃT
det(A)
Приклад 1.
Знайти обернену матрицю матриці A
A = (241)
021
211

Розв'язок: Знайдемо визначник матриці A:

det(A) =  241  = 
021
211

= 2·2·1 + 4·1·2 + 1·0·1 - 1·2·2 - 2·1·1 - 4·0·1 = 4 + 8 + 0 - 4 - 2 - 0 = 6

Знайдемо алгебраїчне доповнення матриці A:

A11 = (-1)1 + 1· 2 1  = 2·1 - 1·1 = 1
1 1

A12 = (-1)1 + 2· 0 1  = -(0·1 - 1·2) = 2
2 1

A13 = (-1)1 + 3· 0 2  = 0·1 - 2·2 = -4
2 1

A21 = (-1)2 + 1· 4 1  = -(4·1 - 1·1) = -3
1 1

A22 = (-1)2 + 2· 2 1  = 2·1 - 1·2 = 0
2 1

A23 = (-1)2 + 3· 2 4  = -(2·1 - 4·2) = 6
2 1

A31 = (-1)3 + 1· 4 1  = 4·1 - 1·2 = 2
2 1

A32 = (-1)3 + 2· 2 1  = -(2·1 - 1·0) = -2
0 1

A33 = (-1)3 + 3· 2 4  = 2·2 - 4·0 = 4
0 2

Запишемо союзну матрицю:

à = (12-4)
-306
2-24

Знайдемо обернену матрицю:

A-1 1 ÃT  =  1
det(A) 6
(1-32)
20-2
-464
 = 
(1/6-1/21/3)
1/30-1/3
-2/312/3

Відповідь: A-1(1/6-1/21/3)
1/30-1/3
-2/312/3

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0