Перетин прямих. Точка перетину двох прямих

Методи розв'язання. Існує два методи розв'язання плоских задач на визначення координат точки перетину прямих:

• графічний
• аналітичний

Графічний метод розв'язку. Використовуючи рівняння, накреслити графіки прямих та за допомогою лінійки знайти координати точки перетину.

Аналітичний метод розв'язку. Необхідно об'єднати рівняння прямих у систему, розв'язання якої дозволить визначити точні координати точки перетину прямих.

Якщо система рівнянь:

• має єдине розв'язок, то прямі перетинаються;
• має нескінченну кількість розв'язків, то прямі співпадають;
• не має розв'язків, то прямі не перетинаються (прямі паралельні між собою)

Приклад 1. Знайти точку перетину прямих y = 2x - 1 та y = -3x + 1.

Розв'язок: Для обчислення координат точки перетину прямих, розв'яжемо систему рівнянь:

y = 2x - 1 y = -3x + 1

Віднімемо з першого рівняння друге

y - y = 2x - 1 - (-3x + 1) y = -3x + 1     =>     0 = 5x - 2 y = -3x + 1

З першого рівняння знайдемо значення x

5x = 2 y = -3x + 1     =>     x = 25 = 0.4 y = -3x + 1

Підставимо значення x у друге рівняння та знайдемо значення y

x = 0.4 y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

Відповідь. Точка перетину двох прямих має координати (0.4, -0.2)

Приклад 2. Знайти точку перетину прямих y = 2x - 1 та x = 2t + 1y = t.

Розв'язок: Для обчислення координат точки перетину прямих, розв'яжемо систему рівнянь:

y = 2x - 1 x = 2t + 1 y = t

У перше рівняння підставимо значення x та y з другого та третього рівнянь.

t = 2·(2t + 1) - 1 x = 2t + 1 y = t     =>     t = 4t + 1 x = 2t + 1 y = t     =>    

-3t = 1 x = 2t + 1 y = t     =>     t = -13 x = 2t + 1 y = t

Підставимо значення t у друге та третє рівняння

t = -13 x = 2·(-13) + 1 = -23 + 1 = 13 y = -13

Відповідь. Точка перетину двох прямих має координати (13, -13)

Приклад 3 Знайти точку перетину прямих 2x + 3y = 0 та x - 23 = y4.

Розв'язок: Для обчислення координат точки перетину прямих, розв'яжемо систему рівнянь:

2x + 3y = 0 x - 23 = y4

З другого рівняння виразимо y через x

2x + 3y = 0 y = 4·x - 23

Підставимо y у перше рівняння

2x + 3·4·x - 23 = 0 y = 4·x - 23     =>     2x + 4·(x - 2) = 0 y = 4·x - 23     =>    

2x + 4x - 8 = 0 y = 4·x - 23     =>     6x = 8 y = 4·x - 23     =>    

x = 86 = 43 y = 4·x - 23     =>     x = 86 = 43 y = 4·4/3 - 23 = 4·-2/3 3 = -89

Відповідь. Точка перетину двох прямих має координати (43, -89)

Приклад 4. Знайти точку перетину прямих y = 2x - 1 та y = 2x + 1.

Розв'язок: Обидві прямі задані рівняннями із кутовим коефіцієнтом. Так як k₁ = k₂ = 2, то прямі паралельні. Так як ці прямі не збігаються точок перетину немає.

Вирішимо також це завдання використовуючи систему рівнянь:

y = 2x - 1 y = 2x + 1

Віднімемо з першого рівняння друге

y - y = 2x - 1 - (2x + 1) y = -3x + 1     =>     0 = -2 y = -3x + 1

У першому рівнянні отримали протиріччя (0 ≠ -2), отже система не має рішень - відсутні точки перетину прямих (прямі паралельні).

Відповідь. Прямі не перетинаються (прямі паралельні).

Приклад 5. Перевірити чи є точка N(1, 1) точкою перетину прямих y = x та y = 3x - 2.

Розв'язок: Підставимо координати точки N у рівняння прямих.

1 = 1

1 = 3·1 - 2 = 1

Відповідь. Так як обидва рівняння перетворилися на тотожність, то точка N - точка перетину цих прямих.

Метод розв'язання. Для визначення координат точки перетину прямих у просторі, необхідно об'єднати рівняння прямих у систему, вирішення якої дозволить визначити точні координати точки перетину прямих.

Якщо система рівнянь:

• має єдине рішення, що прямі перетинаються;
• має безліч рішень, то прямі співпадають;
• немає рішень, то прямі не перетинаються

Приклад 6. Знайти точку перетину прямих x - 1 = y - 1 = z - 1 та x - 3-2 = 2 - y = z.

Розв'язок: Складемо систему рівнянь

x - 1 = a y - 1 = a z - 1 = a x - 3-2 = b 2 - y = b z = b   =>   x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x - 3-2 = b 2 - y = b z = b   =>  

Підставимо значення x, y, z з 1, 2, 3 рівнянь в 4, 5, 6 рівняння

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 - 3-2 = b 2 - (a + 1) = b a + 1 = b   =>   x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2-2 = b 1 - a = b a + 1 = b

До шостого рівняння додамо п'яте рівняння

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2-2 = b 1 - a = b a + 1 + (1 - a) = b + b   =>   x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2-2 = b 1 - a = b b = 1

Підставимо значення b у четверте та п'яте рівняння

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2-2 = 1 1 - a = 1 b = 1   =>   x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a - 2 = -2 a = 0 b = 1   =>  

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1   =>   x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Відповідь. Прямі перетинаються у точці з координатами (1, 1, 1).

Зауваження. Якщо рівняння прямих задані параметрично, і в обох рівняннях параметр заданий однією і тією ж літерою, то при складанні системи в одному з рівнянь необхідно замінити букву, що відповідає за параметр.

Приклад 7. Знайти точку перетину прямих x = 2t - 3 y = t z = -t + 2 та x = t + 1 y = 3t - 2 z = 3 .

Розв'язок: Складемо систему рівнянь замінивши у другому рівнянні параметр t на a

x = 2t - 3 y = t z = -t + 2 x = a + 1 y = 3a - 2 z = 3

Підставимо значення x, y, z з 1, 2, 3 рівнянь у 4, 5, 6 рівняння

x = 2t - 3 y = t z = -t + 2 2t - 3 = a + 1 t = 3a - 2 -t + 2 = 3   =>   x = 2t - 3 y = t z = -t + 2 2t = a + 4 t = 3a - 2 t = -1   =>  

Підставимо значення t з шостого рівняння до інших рівнянь

x = 2·(-1) - 3 y = (-1) z = -(-1) + 2 2·(-1) = a + 4 -1 = 3a - 2 t = -1   =>   x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 13 t = -1

Відповідь. Так як -6 ≠ 13, то прямі не перетинаються.