OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Кут між прямою та площиною

Кут між прямою та площиною
Означення.
Кут між прямою та площиною — це кут між прямою та її проекцією на цю площину.

Формула для обчислення кута між прямою та площиною

Якщо в просторі задані напрямний вектор прямої L

s = {l; m; n}

і рівняння площини

Ax + By + Cz + D = 0,

то кут між цією прямою і площиною можна знайти використав формулу

sin φ | A · l + B · m + C · n |
A2 + B2 + C2 · √l2 + m2 + n2

Виведення формули обчислення кута між прямою та площиною

З рівняння прямої можна знайти напрямний вектор прямої

s = {l; m; n}

З рівняння площини вектор нормалі площини має вигляд

q = {A; B; C}

З формул скалярного добутку векторів знайдемо косинус кута між нормаллю до площини та напрямним вектором прямої

cos ψ | q · s |
| s | · |q |

Так як φ = 90° - ψ, то синус кута між прямою і площиною sin φ = cos ψ.

Розписавши скалярний добуток векторів і модулі векторів через їх координати, отримаємо формулу для обрахунку кута між прямою та площиною.


Приклад обрахунку кута між прямою та площиною

Приклад 1.
Знайти кут між прямою
x - 4  =  y + 2  = -  z - 6
2 6 3
та площиною x - 2y + 3z + 4 = 0.

Розв'язок.

З рівняння прямої знайдемо напрямний вектор прямої

s = {2; 6; -3}

З рівняння площини знайдемо вектор нормалі площини

q = {1; -2; 3}

Скориставшись формулою, знайдемо кут між прямою та площиною

sin φ | 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 |  =
22 + 62 + (-3)2 · √12 + (-2)2 + 32
sin φ | 2 - 12 - 9 |  =  19  =  19
4 + 36 + 9 · √1 + 4 + 9 49 · √14 7√14
Відповідь: 
sin φ 19
7√14

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0