OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Відстань від точки до прямої в просторі

Відстань від точки до прямої в просторі
Означення.
Відстань від точки до прямої — дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.

Формула для обчислення відстані від точки до прямої в просторі

Якщо s = {m; n; p} - напрямний вектор прямої l, M1(x1, y1, z1) - точка що належить прямій, тоді відстань від точки M0(x0, y0, z0) до прямої l можна знайти, використовуючи формулу

d |M0M1×s|
|s|

Виведення формули обчислення відстані від точки до прямої в просторі

Якщо задано рівняння прямої l то нескладно знайти s = {m; n; p} - напрямний вектор прямої і M1(x1, y1, z1) - координати точки що належить цій прямій. Із властивостей векторного добутку відомо, що модуль векторного добутку векторів дорівнює площі паралелограма побудованого на цих векторах

S = |M0M1×s|.

З іншого боку площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту проведену до цієї сторони

S = |s|d.

В нашому випадку висота буде дорівнювати відстані від точки до площини d, а сторона паралелограма дорівнює модулю напрямного вектора s.

Прирівняв площі нескладно отримати формулу відстані від точки до прямої.

Приклади задач на обчислення відстані від точки до прямої в просторі

Приклад 1.
Знайти відстань між точкою M(0, 2, 3) і прямою

x - 3  =  y - 1  =  z + 1
2 1 2

Розв'язок.

Із рівняння прямої отримаємо:

s = {2; 1; 2} - напрямний вектор прямої;
M1(3; 1; -1) - точка що належить прямій.

Тоді

M0M1 = {3 - 0; 1 - 2; -1 - 3} = {3; -1; -4}

M0M1×s i j k  = 
  3    -1    -4  
  2    1    2  

= i ((-1)·2 - (-4)·1) - j (3·2 - (-4)·2) + k (3·1 -(-1)·2) = {2; -14; 5}

d |M0M1×s|  =  22 + (-14)2 + 52  =  225  =  15  = 5
|s| 22 + 12 + 22 9 3

Відповідь: відстань від точки до прямої дорівнює 5.

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0