Лінійно залежні та незалежні рядки.

• Лінійна комбінація рядків
• Тривіальна лінійна комбінація рядків
• Нетривіальна лінійна комбінація рядків
• Лінійно залежні рядки
• Лінійно незалежні рядки
• Приклади лінійно залежних та незалежних рядків

Лінійною комбінацією рядків s₁, s₂, ..., s_l матриці A називається вираз

α₁s₁ + α₂s₂ + ... + α_ls_l

Лінійна комбінація рядків називається тривіальною, якщо всі коефіцієнти α_i одночасно рівні нулю.

Тривіальна лінійна комбінація рядків рівна нульовому рядку.

Лінійна комбінація рядків називається нетривіальною, якщо хоча б один із коефіцієнтів α_i не рівний нулю.

Система рядків називається лінійно залежною (ЛЗ), якщо існує їх нетривіальна лінійна комбінація, рівна нульовому рядку.

Система рядків називається лінійно незалежною (ЛНЗ), якщо лише тривіальна лінійна комбінація рівна нульовому рядку (не існує їх нетривіальної лінійної комбінації, рівна нульовому рядку).

Система рядків квадратної матриці лінійно незалежна тоді і лише тоді, коли визначник цієї матриці не рівен нулю.

Система рядків квадратної матриці лінійно залежна тоді і лише тоді, коли визначник цієї матриці рівний нулю.

Показати, що система рядків {s₁ = {2   5}; s₂ = {4   10}} являється лінійно залежною.

Розв'язання. Складемо лінійну комбінацію цих рядків

α₁{2   5} + α₂{4   10}

Знайдемо, при яких значеннях α₁, α₂ ця лінійна комбінація рівна нульовому рядку

α₁{2   5} + α₂{4   10} = {0   0}

Дане рівняння еквівалентне наступній системі рівнянь:

	2α1 + 4α2 = 0
	5α1 + 10α2 = 0

Розділимо перше рівняння на 2, а друге рівняння на 5:

	α1 + 2α2 = 0
	α1 + 2α2 = 0

Розв'язками цієї системи можуть бути будь-які числа α₁ і α₂ такі, що: α₁ = -2α₂, наприклад, α₂ = 1, α₁ = -2, а це означає, що рядки s₁ і s₂ линійно залежні.

Показати, що система рядків {s₁ = {2   5   1}; s₂ = {4   10   0}} являється лінійно незалежними.

Розв'язок. Складемо лінійну комбінацію цих рядків

α₁{2   5   1} + α₂{4   10   0}

Знайдемо, при яких значеннях α₁, α₂ ця лінійна комбінація рівна нульовому рядку

α₁{2   5   1} + α₂{4   10   0} = {0   0   0}

Дане рівняння еквівалентне наступній системі рівнянь:

	2α1 + 4α2 = 0
	5α1 + 10α2 = 0
	α1 + 0α2 = 0

Із 3-тього рівняння отримаємо α₁ = 0, підставимо це значення в 1-ше і 2-ге рівняння:

	2·0 + 4α2 = 0	=>		4α2 = 0	=>		α2 = 0
	5·0 + 10α2 = 0			10α2 = 0			α2 = 0
	α1 = 0			α1 = 0			α1 = 0

Так як лінійна комбінація рядків рівна нулю тоді, коли α₁ = 0 і α₂ = 0, то рядки лінійно незалежні.