Еліпс. Формули, елементи та властивості еліпса

Навігація по сторінці: Означення еліпса Елементи еліпса Основні властивості еліпса Рівняння еліпса Радіус кола вписаного в еліпс Радіус кола описаного навколо еліпса Площа еліпса Площа сегмента еліпса Наближена формула периметра еліпса Довжина дуги еліпса

Означення еліпса

Означення. Еліпс — це замкнена плоска крива, сума відстаней від кожної точки якої до двох фіксованих точок F₁ і F₂ дорівнює сталій величині. Точки F₁ і F₂ називають фокусами еліпса.

F₁M₁ + F₂M₁ = F₁M₂ + F₂M₂ = A₁A₂ = const


Рис.1		Рис.2

Елементи еліпса

F₁ і F₂ - фокуси еліпса

Вісі еліпса

А₁А₂ = 2a - велика вісь еліпса (проходить через фокуси еліпса)

B₁B₂ = 2b - мала вісь еліпса (перпендикулярна до великої вісі еліпса та проходить через її центр)

a - велика піввісь еліпса

b - мала піввісь еліпса

O - центр еліпса (точка перетину великої і малої осей еліпса)

Вершини еліпса A₁, A₂, B₁, B₂ - точки перетину еліпсу з малою та великою вісями еліпса

Діаметр еліпса - відрізок, який з'єднує дві точки еліпса і проходить через його центр.

Фокальна відстань c - половина довжини відрізку, що з'єднує фокуси еліпса.

Ексцентриситет еліпса e характеризує його витягнутість і визначається відношенням фокальної відстані c до великої піввісі a. Для еліпса ексцентриситет завжди буде 0 < e < 1, для круга e = 0, для параболи e = 1, для гіперболи e > 1.

e =	c
	a

Фокальні радіуси еліпса r₁, r₂ - відстані від точки на еліпсі до фокусів.

Радіус еліпса R - відрізок, який з'єднує центр еліпса О з точкою на еліпсі.

R =	ab	=	b
	√a²sin²φ + b²cos²φ		√1 - e²cos²φ

де e - ексцентриситет еліпса, φ - кут між радіусом та великою віссю A₁A₂.

Фокальний параметр еліпса p - відрізок який виходить з фокусу еліпса та перпендикулярний великій піввісі:

p =	b²
	a

Коефіцієнт стиску еліпса (еліптичність) k - відношення довжини малої піввісі до великої піввісі. Так як мала піввісь еліпса завжди менша великої, то k < 1, для круга k = 1:

k =	b
	a

k = √1 - e²

де e - ексцентриситет.

Стисненням еліпса (1 - k ) - величина, яка дорівнює різниці між одиницею та еліптичністю:

1 - k =	a - b
	a

Директриси еліпса - дві прямі перпендикулярні фокальній вісі еліпса, які перетинають її на відстані ae від центру еліпса. Відстань від фокуса до директриси дорівнює pe.

Основні властивості еліпса

1. Кут між дотичною до еліпса і фокальним радіусом r₁ дорівнює куту між дотичною і фокальним радіусом r₂ (Рис. 2, точка М₃).

2. Рівняння дотичної до еліпсу в точці М з координатами (x_M, y_M):

1 =	xx_M	+	yy_M
	a²		b²

3. Якщо еліпс перетинається двома паралельними прямими, то відрізок, що сполучає середини відрізків утворених при перетині прямих і еліпса, завжди буде проходити через центр еліпса. (Ця властивість дає можливість за допомогою циркуля і лінійки побудовою отримати центр еліпса.)

4. Еволютою еліпса є астероїда, що витягнута вздовж короткої вісі.

5. Якщо вписати еліпс з фокусами F₁ та F₂ у трикутник ∆ ABC, то буде виконуватись наступне співвідношення:

1 =	F₁A ∙ F₂A	+	F₁B ∙ F₂B	+	F₁C ∙ F₂C
	CA ∙ AB		AB ∙ BC		BC ∙ CA

Рівняння еліпса

Канонічне рівняння еліпса:

Рівняння описує еліпс у декартовій системі координат. Якщо центр еліпса О знаходиться на початку координат, а велика вісь лежить на абсцисі, то еліпс описується рівнянням:

1 =	x²	+	y²
	a²		b²

Якщо центр еліпса О зміщено в точку з координатами (x_o, y_o), то рівняння

1 =	(x - x_o)²	+	(y - y_o)²
	a²		b²

Параметричне рівняння еліпса:

{	x = a cos α	де 0 ≦ α < 2π
	y = b sin α

Радіус кола вписаного еліпса

Коло, вписане в еліпс дотикається тільки до двох вершин еліпса, B₁ та B₂. Відповідно, радіус вписаного кола r буде дорівнювати малій піввісі еліпса OB₁:
r = b

Радіус кола описаного навколо еліпса

Коло, описане навколо еліпса дотикається до двох вершин еліпса A₁ та A₂. Відповідно, радіус описаного кола R буде дорівнювати довжині великої піввісі еліпса OA₁:
R = a

Площа еліпса

Формула визначення площі еліпса:
S = πab

Площа сегмента еліпса

Формула площі сегмента, що знаходиться по ліву сторону від хорди з координатами (x, y) та (x, -y):

S =	πab	-	b	(	x	√	a² - x² + a² ∙ arcsin	x	)
	2		a					a

Периметр еліпса

Знайти точну формулу периметра еліпса L дуже важко. Нижче наведена формула приблизної довжини периметра. Максимальна похибка цієї формули становить близько ~0,63 %: