Трикутник. Формули та властивості трикутників.

Означення. Трикутник - фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з'єднують ці точки. Точки називають вершинами трикутника, а відрізки - його сторонами.

Типи трикутників

За величиною кутів

Гострокутний трикутник - всі кути трикутника гострі.
Тупокутний трикутник - один з кутів трикутника тупий (більше 90°).
Прямокутний трикутник - один із кутів трикутника прямий (рівний 90°).

За кількістю рівних сторін

Різносторонній трикутник - всі три сторони не рівні.
Рівнобедрений трикутник - дві сторони рівні.
Рівносторонній трикутник або правильний трикутник - всі три сторони рівні.

Вершини, кути та сторони трикутника

Властивості кутів та сторін трикутника

Сума кутів трикутника дорівнює 180°:

α + β + γ = 180°

У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки. Проти рівних сторін лежать рівні кути:

якщо α > β, тоді a > b

якщо α = β, тоді a = b

Сума довжин двох будь-яких сторін трикутника більша за довжину сторони, що залишилася:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α		sin β		sin γ

Теорема косинусів

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін трикутника мінус подвійний добуток цих сторін на косинус кута між ними.

a² = b² + c² - 2bc·cos α

b² = a² + c² - 2ac·cos β

c² = a² + b² - 2ab·cos γ

Теорема про проекції

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формули для обчислення довжин сторін трикутника

Формули сторін через медіани

a = 23√2(m_b² + m_c²) - m_a²

b = 23√2(m_a² + m_c²) - m_b²

c = 23√2(m_a² + m_b²) - m_c²

Медіани трикутника

Означення. Медіана трикутника ― відрізок усередині трикутника, який з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Властивості медіан трикутника:

Медіани трикутника перетинаються в одній точці. (Точка перетину медіан називається центроїдом)
У точці перетину медіани трикутника поділяються у відношені два до одного (2:1)

AOOD = BOOE = COOF = 21
Медіана трикутника ділить трикутник на дві рівновеликі частини

S_∆ABD = S_∆ACD

S_∆BEA = S_∆BEC

S_∆CBF = S_∆CAF
Трикутник ділиться трьома медіанами на шість рівновеликих трикутників.

S_∆AOF = S_∆AOE = S_∆BOF = S_∆BOD = S_∆COD = S_∆COE
З векторів, що утворюють медіани, можна скласти трикутник.

Формули медіан трикутника

Формули медіан трикутника через сторони

m_a = 12√2b²+2c²-a²

m_b = 12√2a²+2c²-b²

m_c = 12√2a²+2b²-c²

Бісектриси трикутника

Означення. Бісектриса кута — промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на два рівні кути.

Властивості бісектрис трикутника:

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, рівновіддаленій від трьох сторін трикутника, - центрі вписаного кола.
Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника

AEAB = ECBC
Кут між бісектрисами внутрішнього і зовнішнього кутів трикутника при одній вершині дорівнює 90°.

Кут між l_c та l_c' = 90°
Якщо у трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — равнобедренный.

Формули бісектрис трикутника

Формули бісектрис трикутника через сторони:

l_a = 2√bcp(p - a)b + c

l_b = 2√acp(p - b)a + c

l_c = 2√abp(p - c)a + b

де p = a + b + c2 - напівпериметр трикутника

Формули бісектрис трикутника через дві сторони і кут:

l_a = 2bc cos α2b + c

l_b = 2ac cos β2a + c

l_c = 2ab cos γ2a + b

Висоти трикутника

Означення. Висотою трикутника називається перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на пряму, що містить протилежну сторону.

Залежно від типу трикутника висота може

бути всередині трикутника – для гострокутного трикутника;
збігатися з його стороною – для катета прямокутного трикутника;
проходити поза трикутником - для гострих кутів тупокутного трикутника.

Властивості висот трикутника

Висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника.

Якщо у трикутника дві висоти рівні, то трикутник — равнобедренный.

h_a:h_b:h_c = 1a:1b:1c = (bc):(ac):(ab)

1h_a + 1h_b + 1h_c = 1r

Формули висот трикутника

Формули висот трикутника через сторону та кут:

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Формули висот трикутника через сторону та площу:

h_a = 2Sa

h_b = 2Sb

h_c = 2Sc

Формули висот трикутника через дві сторони та радіус описаного кола:

h_a = bc2R

h_b = ac2R

h_c = ab2R

Коло вписане в трикутник

Означення. Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх трьох його сторін.

Властивості кола вписаного в трикутник

Центр вписаного в трикутник кола лежить на перетині бісектрис внутрішніх кутів трикутника.

У будь-який трикутник можна вписати коло, і лише одне.

Формули радіусу кола вписаного в трикутник

Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює відношенню площі трикутника до його напівпериметра:

r = Sp

Радіус вписаної в трикутник кола через три сторони:

r = (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)4(a + b + c)

Радіус вписаного в трикутник кола через три висоти:

1r = 1h_a + 1h_b + 1h_c

Коло описане навколо трикутника

Означення. Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно містить усі вершини трикутника.

Властивості кола описаного навколо трикутника

Центр описаного навколо трикутника кола лежить на перетині серединних перпендикулярів до його сторін.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, і лише одне.

Властивості кутів

Центр описаного кола лежить усередині гострокутного трикутника, зовні тупокутного трикутника, на середині гіпотенузи прямокутного трикутника.

Формули радіуса кола описаного навколо трикутника

Радіус описаного кола через три сторони та площу:

R = abc4S

Радіус описаного кола через площу та три кути:

R = S2 sin α sin β sin γ

Радіус описаного кола через бік та протилежний кут (теорема синусів):

R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ

Зв'язок між вписаним та описании колами трикутника

Якщо d — відстань між центрами вписаного та описаного кіл, то.

d² = R² - 2Rr

rR = 4 sinα2 sinβ2 sinγ2 = cos α + cos β + cos γ - 1

2Rr = abca + b + c

Середня лінія трикутника

Означення. Середня лінія трикутника — відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника.

Властивості середньої лінії трикутника

1. Будь-який трикутник має три середні лінії

Середня лінія трикутника паралельна до основи і дорівнює її половині.

MN = 12AC KN = 12AB KM = 12BC

MN || AC KN || AB KM || BC

3. Середня лінія відсікає трикутник, подібний до цього, площа якого дорівнює чверті площі вихідного трикутника

S_∆MBN = 14 S_∆ABC

S_∆MAK = 14 S_∆ABC

S_∆NCK = 14 S_∆ABC

4. При перетині всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівні трикутники, подібних (навіть гомотетичних) вихідному з коефіцієнтом 1/2.

∆MBN ∼ ∆ABC

∆AMK ∼ ∆ABC

∆KNC ∼ ∆ABC

∆NKM ∼ ∆ABC

Ознаки. Якщо відрізок паралельний одній із сторін трикутника і з'єднує середину сторони трикутника з точкою, що лежить з іншого боку трикутника, цей відрізок - середня лінія.

Периметр трикутника

Периметр трикутника ∆ABC дорівнює сумі довжин його сторін

P = a + b + c

Дивіться також онлайн калькулятор для розрахунку периметра трикутника

Формули площі трикутника

Формула площі трикутника по стороні та висоті
Площа трикутника дорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти
S = 12a · h_a
S = 12b · h_b
S = 12c · h_c
Формула площі трикутника за трьома сторонами
Формула Герона

S = √p(p - a)(p - b)(p - c)
где p = a + b + c2 - напівпериметр трикутника.
Формула площі трикутника за двома сторонами та кутом між ними
Площа трикутника дорівнює половині добутка двох його сторін помноженого на синус кута між ними.
S = 12a · b · sin γ
S = 12b · c · sin α
S = 12a · c · sin β
Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
S = a · b · с
4R
Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
Площа трикутника дорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.
S = p · r

Ви можете скористатись онлайн калькулятором для розрахунку площі трикутника.

Рівність трикутників

Означення. Якщо два трикутники АВС і А₁В₁С₁ можна сумістити накладенням, вони рівні.

Властивість. У рівних трикутників рівні їх відповідні елементи. (У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути, проти рівних кутів лежать рівні сторони)

Ознаки рівності трикутників

Теорема 1.

Перша ознака рівності трикутників - за двома сторонами та кутом між ними

Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Теорема 2.

Друга ознака рівності трикутників - за стороною та двом прилеглим кутам

Якщо сторона і два кути, що прилягають до неї одного трикутника, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Теорема 3.