Ранг матриці
Навігація по сторінці:
Означення.
Рангом системи рядків (стовпців) називається максимальна кількість лінійно незалежних рядків (стовпців) цієї системи.Теорема.
Ранг системи рядків матриці дорівнює рангу її системи стовпців.Означення.
Рангом матриці A називається ранг її системи рядків або стовпців.Зазвичай ранг матриці A позначають rank(A) або rang(A)
Властивості матриці пов'язані з рангом
- Ранг матриці не зміниться, якщо над її рядками (стовпцями) виконати елементарні перетворення.
- Ранг ступінчатої матриці дорівнює кількості її ненульових рядків.
Методи обчислення ранга матриці
Метод елементарних перетворень
Використовуючи властивості матриці пов'язані з її рангом, отримано метод обрахунку рангу який найбільш частіше за інші використовується на практиці.Метод 1.
Ранг матриці дорівнює кількості ненульових рядків після перетворення матриці до ступінчатого вигляду, використовуючи елементарні перетворення над рядками та стовпчиками матриці.Метод окаймляючих миноров
Теорема.
Ранг матриці дорівнює найбільшому порядку не рівного нулю мінора.Метод 2.
Якщо в матриці A знайдено ненульовий мінор k-го порядку M. Розглянемо всі мінори (k + 1)-го порядку, які включають в себе (окаймляючі) мінор M; якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k. Якщо серед окаймляючих мінорів знайдеться ненульовий, то вся процедура повторюється.Приклад.
Обчислити ранг матриці A, де
| A = |  |
4 | 2 | 0 | 1 |  |
| 2 | 1 | 2 | 3 | |||
| 0 | 3 | 10 | 1 | |||
| 4 | 2 | 4 | 6 |
Розв'язок:
Від 1-ого рядка віднімемо 2-ий помножений на 2, від 4-того віднімемо 2-ий помножений на 2
|
4 | 2 | 0 | 1 | |
~ | |
0 | 0 | -4 | -5 | |
~ |
| 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 | ||||||
| 0 | 3 | 10 | 1 | 0 | 3 | 10 | 1 | ||||||
| 4 | 2 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Поміняємо місцями рядки
| ~ | |
2 | 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 3 | 10 | 1 | |||
| 0 | 0 | -4 | -5 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 |
отримана матриця є ступінчастою, значить rank(A) = 3.
Відповідь: rank(A) = 3.
Матриці. Вступ та змістМатриці: означення та основні поняттяЗведення системи лінійних рівнянь до матриціВиди матрицьМноження матриць на числоДодавання та віднімання матрицьМноження матрицьТранспонування матрицьЕлементарні перетворення матрицьВизначник матриціМінор та алгебраїчне доповнення матриціОбернена матрицяЛінійно залежні та незалежні рядкиРанг матриці
Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.
Підготовка до ДПА по темах.
Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!