Множення матриць

Навігація по сторінці:

Множення матриць
Властивості множення матриць
Приклади множення матриць

Означення.

Результатом множення матриць A_m×n та B_n×k буде матриця C_m×k така, що елемент матриці C, що знаходяться в i-тому рядку та j-тому стовпчику (c_ij), дорівнює сумі добутків елементів i-того рядку матриці A на відповідні елементи j-того стовпця матриці B:

c_ij = a_i1 · b_1j + a_i2 · b_2j + ... + a_in · b_nj

Зауваження.

Дві матриці можна перемножити між собою тоді і тільки тоді, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці.

Властивості добутку матриць

(A · B) · C= A · (B · C) - добуток матриць асоціативний;
(z · A) · B= z · (A · B), де z - число;
A · (B + C) = A · B + A · C - добуток матриць дистрибутивний;
E_n · A_nm = A_nm · E_m= A_nm - множення на одиничну матрицю;
A · B ≠ B · A - в загальному випадку добуток матриць не комутативний.
Добутком двох матриць є матриця, у якої стільки ж рядків, скільки їх у лівого множника, і стільки стовпців, скільки їх у правого множника.

Приклади задач на множення матриць

Приклад 1.

Знайти матрицю C, що дорівнює добутку матриць A =		4	2		і B =		3	1		.
		9	0				-3	4

Розв'язок:

С = A · B =		4	2		·		3	1		=		6	12
		9	0				-3	4				27	9

Елементи матриці C обраховуються наступним чином:

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 4·3 + 2·(-3) = 12 - 6 = 6

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Приклад 2

Знайти матрицю C, що дорівнює добутку матриць A =

	2	1
	-3	0
	4	-1

і B =

	5	-1	6
	-3	0	7

Розв'язок:

C = A · B =

	2	1
	-3	0
	4	-1

	5	-1	6
	-3	0	7

7	-2	19
-15	3	-18
23	-4	17

Елементи матриці C обраховуються наступним чином:

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 2·5 + 1·(-3) = 10 - 3 = 7

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2

c₁₃ = a₁₁·b₁₃ + a₁₂·b₂₃ = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3

c₂₃ = a₂₁·b₁₃ + a₂₂·b₂₃ = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18

c₃₁ = a₃₁·b₁₁ + a₃₂·b₂₁ = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23

c₃₂ = a₃₁·b₁₂ + a₃₂·b₂₂ = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4

c₃₃ = a₃₁·b₁₃ + a₃₂·b₂₃ = 4·6 + (-1)·7 = 24 - 7 = 17

Онлайн калькулятори з матрицями

Вправи з матрицями

Матриці. Вступ та зміст Матриці: означення та основні поняття Зведення системи лінійних рівнянь до матриці Види матриць Множення матриць на число Додавання та віднімання матриць Множення матриць Транспонування матриць Елементарні перетворення матриць Визначник матриці Мінор та алгебраїчне доповнення матриці Обернена матриця Лінійно залежні та незалежні рядки Ранг матриці

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!