Кут між векторами
Навігація по сторінці:
Означення.
Кутом між двома векторами, відкладеними від однієї точки, називається найкоротший кут, на який потрібно повернути один з векторів навколо свого початку до положення співнаправленості з іншим вектором. |
Основне співвідношення.
Косинус кута між векторами дорівнює скалярному добутку векторів, поділеному на добуток модулів векторів.Формула обрахунку кута між векторами
| cos α = | a·b |
| |a|·|b| |
Приклади задач на обрахунок кута між векторами
Приклади обрахунку кута між векторами для плоских задач
Приклад 1. Знайти кут між векторами a = {3; 4} і b = {4; 3}.
|b| = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5
Розв'язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:
a·b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.Знайдемо модулі векторів:
|a| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5|b| = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5
Знайдемо кут між векторами:
| cos α = | a · b | = | 24 | = | 24 | = 0.96 |
| |a| · |b| | 5 · 5 | 25 |
Приклад 2. Знайти кут між векторами a = {7; 1} і b = {5; 5}.
|b| = √52 + 52 = √25 + 25 = √50 = 5√2
Розв'язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:
a·b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.Знайдемо модулі векторів:
|a| = √72 + 12 = √49 + 1 = √50 = 5√2|b| = √52 + 52 = √25 + 25 = √50 = 5√2
Знайдемо кут між векторами:
| cos α = | a · b | = | 40 | = | 40 | = | 4 | = 0.8 |
| |a| · |b| | 5√2 · 5√2 | 50 | 5 |
Приклади обрахунку кута між векторами для просторових задач
Приклад 3. Знайти кут між векторами a = {3; 4; 0} і b = {4; 4; 2}.
|b| = √42 + 42 + 22 = √16 + 16 + 4 = √36 = 6
Розв'язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:
a·b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.Знайдемо модулі векторів:
|a| = √32 + 42 + 02 = √9 + 16 = √25 = 5|b| = √42 + 42 + 22 = √16 + 16 + 4 = √36 = 6
Знайдемо кут між векторами:
| cos α = | a · b | = | 28 | = | 14 |
| |a| · |b| | 5 · 6 | 15 |
Приклад 4. Знайти кут між векторами a = {1; 0; 3} і b = {5; 5; 0}.
|b| = √52 + 52 + 02 = √25 + 25 = √50 = 5√2
Розв'язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:
a·b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.Знайдемо модулі векторів:
|a| = √12 + 02 + 32 = √1 + 9 = √10|b| = √52 + 52 + 02 = √25 + 25 = √50 = 5√2
Знайдемо кут між векторами:
| cos α = | a · b | = | 5 | = | 1 | = | √5 | = 0.1√5 |
| |a| · |b| | √10 · 5√2 | 2√5 | 10 |
Вектори. Вступ та зміст
Вектор: означення і основні поняття
Знаходження координат вектора заданого координатами його початкової і кінцевої точки
Модуль вектора. Довжина вектора
Напрямні косинуси вектора
Рівність векторів
Ортогональність векторів
Колінеарні вектори
Компланарні вектори
Кут між векторами
Проекція вектора
Додавання і віднімання векторів
Множення вектора на число
Скалярний добуток векторів
Векторний добуток векторів
Мішаний добуток векторів
Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори
Розклад вектора за базисом
Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.
Підготовка до ДПА по темах.
Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!