Компланарність векторів. Умови компланарності векторів

Приклад 1. Перевірити чи компланарні три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Розв'язок: Знайдемо мішаний добуток цих векторів

a · [b × с] =	1	2	3	=
	1	1	1
	1	2	1

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

Відповідь: вектори не компланарні так, як їх мішаний добуток не дорівнює нулю.

Приклад 2. Довести що три вектори a = {1; 1; 1}, b = {1; 3; 1} і c = {2; 2; 2} компланарні.

Розв'язок: Знайдемо мішаний добуток цих векторів

a · [b × с] =	1	1	1	=
	1	3	1
	2	2	2

= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 - 1·2·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 6 + 2 + 2 - 6 - 2 - 2 = 0

Відповідь: вектори компланарні так, як їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Приклад 3. Перевірити чи компланарні вектори a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1}, d = {3; 3; 3}.

Розв'язок: Знайдемо кількість лінійно незалежних векторів, для цього запишемо значення векторів в матрицю, і виконаємо над нею елементарні перетворення

	1	1	1		~
	1	2	0
	0	-1	1
	3	3	3

від 2-гої стрічки віднімемо 1-шу; від 4-тої стрічки віднімемо 1-шу помножену на 3

~		1	1	1		~		1	1	1		~
		1 - 1	2 - 1	0 - 1				0	1	-1
		0	-1	1				0	-1	1
		3 - 3	3 - 3	3 - 3				0	0	0

до 3-тьої стрічки додамо 2-гу

~		1	1	1		~		1	1	1
		0	1	-1				0	1	-1
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)				0	0	0
		3 - 3	3 - 3	3 - 3				0	0	0

Так як залишилось лише дві ненульові стрічки, то серед приведених векторів лише два лінійно незалежних вектора.

Відповідь: вектори компланарні так, як серед приведених векторів лише два лінійно незалежних вектора.