Скалярний добуток векторів.

Навігація по сторінці:

Геометрична інтерпретація. Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює добутку модулів цих векторів помноженому на косинус кута між ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраїчна інтерпретація. Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює сумі попарного добутку відповідних координат векторів a і b.

Формули скалярного добутку векторів заданих координатами

У випадку плоскої задачі скалярний добуток векторів a = {a_x ; a_y} і b = {b_x ; b_y} можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y

Формула скалярного добутку векторів для просторових задач

У випадку просторової задачі скалярний добуток векторів a = {a_x ; a_y ; a_z} і b = {b_x ; b_y ; b_z} можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Формула скалярного добутку n -вимірних векторів

У випадку n-вимірного простору скалярний добуток векторів a = {a₁ ; a₂ ; ... ; a_n} і b = {b₁ ; b₂ ; ... ; b_n} можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + ... + a_n · b_n

Властивості скалярного добутку векторів

Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більше або дорівнює нулю:
a · a ≥ 0
Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:
a · a = 0 <=> a = 0
Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:
a · a = |a|²
Операція скалярного добутку комутативна:
a · b = b · a
Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
(αa) · b = α(a · b)
Операція скалярного добутку дистрибутивна:
(a + b) · c = a · c + b · c

Приклади задач на скалярний добуток векторів

Приклади обрахунку скалярного добутку векторів для плоских задач

Приклад 1. Знайти скалярний добуток векторів a = {1; 2} і b = {4; 8}.

Розв'язок: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Приклад 2. Знайти скалярний добуток векторів a і b, якщо їх довжини |a| = 3, |b| = 6, та кут між векторами дорівнює 60˚.

Розв'язок: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Приклад 3. Знайти скалярний добуток векторів p = a + 3b і q = 5a - 3 b, якщо їх довжини |a| = 3, |b| = 2, та кут між векторами a і b дорівнює 60˚.

Розв'язок:

p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =

= 5 |a|² + 12 a · b - 9 |b|² = 5 · 3² + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 2² = 45 +36 -36 = 45.

Приклад обрахунку скалярного добутку векторів для просторових задач

Приклад 4. Знайти скалярний добуток векторів a = {1; 2; -5} і b = {4; 8; 1}.

Розв'язок: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Приклад обрахунку скалярного добутку векторів для n -вимірних векторів

Приклад 5. Знайти скалярний добуток векторів a = {1; 2; -5; 2} і b = {4; 8; 1; -2}.

Розв'язок: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

Вектори. Вступ та зміст Вектор: означення і основні поняття Знаходження координат вектора заданого координатами його початкової і кінцевої точки Модуль вектора. Довжина вектора Напрямні косинуси вектора Рівність векторів Ортогональність векторів Колінеарні вектори Компланарні вектори Кут між векторами Проекція вектора Додавання і віднімання векторів Множення вектора на число Скалярний добуток векторів Векторний добуток векторів Мішаний добуток векторів Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори Розклад вектора за базисом

Онлайн калькулятори з векторами

Онлайн вправи з векторами на площині

Онлайн вправи з векторами в просторі

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!