Мішаний добуток векторів
Навігація по сторінці:
Означення. Мішаний добуток векторів — це скалярний добуток вектора a на векторний добуток векторів b і c.
Формула обрахунку мішаного добутку векторів
Мішаний добуток векторів дорівнює визначнику матриці, отриманої з цих векторів.
Мішаний добуток векторів a = {ax; ay; az}, b = {bx; by; bz} и c = {cx; cy; cz} в декартовій системі координат можна обрахувати, скориставшись наступною формулою:
| a · [b × c] = | ax | ay | az |
| bx | by | bz | |
| cx | cy | cz |
Властивості мішаного добутку векторів
- Геометричний зміст мішаного добутку.Модуль мішаного добутку трьох векторів a, b і с дорівнює об'єму паралелепіпеда, утвореного цими векторами:Vпарал = |a · [b × c]|
- Геометричний зміст мішаного добутку.Об'єм піраміди утвореної трьома векторами a, b і с дорівнює одній шостій частині від модуля мішаного добутку цих векторів:
Vпир = 1 |a · [b × c]| 6 - Якщо мішаний добуток трьох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори компланарні.
- a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)
- a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]
- a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 - тотожність Якобі.
Приклади задач на обрахунок мішаного добутку векторів
Приклад 1. Знайти мішаний добуток векторів a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
Розв'язок:
| a · [b × с] = | 1 | 2 | 3 | = |
| 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 2 | 1 |
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
Приклад 2.
Знайти об'єм піраміди побудованої на векторах a = {1; 2; 3}, b = {1; -1; 1}, c = {2; 0; -1}.
Розв'язок: Знайдемо мішаний добуток цих векторів:
| a · [b × с] = | 1 | 2 | 3 | = |
| 1 | -1 | 1 | ||
| 2 | 0 | -1 |
= 1·(-1)·(-1) + 2·1·2 + 3·1·0 - 3·(-1)·2 - 2·1·(-1) - 1·1·0 =
= 1 + 4 + 0 + 6 + 2 - 0 = 13
Знайдемо об'єм піраміди скориставшись властивостями:
| Vпир = | 1 | |a · [b × c]| = | 13 | = 2 | 1 |
| 6 | 6 | 6 |
Вектори. Вступ та зміст
Вектор: означення і основні поняття
Знаходження координат вектора заданого координатами його початкової і кінцевої точки
Модуль вектора. Довжина вектора
Напрямні косинуси вектора
Рівність векторів
Ортогональність векторів
Колінеарні вектори
Компланарні вектори
Кут між векторами
Проекція вектора
Додавання і віднімання векторів
Множення вектора на число
Скалярний добуток векторів
Векторний добуток векторів
Мішаний добуток векторів
Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори
Розклад вектора за базисом
Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.
Підготовка до ДПА по темах.
Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!