Колінеарність векторів, умови колінеарності векторів

Навігація по сторінці:

Означення.

Вектори, що паралельні одній прямій або лежать на одній прямій називаються колінеарними векторами (рис. 1).

рис. 1

Умови колінеарності векторів

Два вектора будуть колінеарні при виконанні будь-якої з цих умов:

Умова колінеарності векторів 1.

Два вектора a і b колінеарні, якщо існує число n таке, що

a = n · b

Умова колінеарності векторів 2.

Два вектора колінеарні, якщо відношення їх координат рівні.

N.B. Умову 2 неможливо застосувати, якщо один з компонентів вектора дорівнює нулю.

Умова колінеарності векторів 3.

Два вектори колінеарні, якщо їх векторний добуток дорівнює нуль вектору.

N.B. Умова 3 може бути застосована лише для тривимірних (просторових) задач.

Доведення третьої умови колінеарності

Нехай є два колінеарні вектори a = {a_x; a_y; a_z} і b = {na_x; na_y; na_z}. Знайдемо їх векторний добуток

a × b =	i	j	k	= i (a_yb_z - a_zb_y) - j (a_xb_z - a_zb_x) + k (a_xb_y - a_yb_x) =
	a_x	a_y	a_z
	b_x	b_y	b_z

= i (a_yna_z - a_zna_y) - j (a_xna_z - a_zna_x) + k (a_xna_y - a_yna_x) = 0i + 0j + 0k = 0

Приклади задач на колінеарність векторів

Приклади задач на колінеарність векторів на площині

Приклад 1. Які з векторів a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} колінеарні?

Розв'язок: Так як вектори не містять компоненти що дорівнюють нулю, то скористаємось другою умовою колінеарності, яка у випадку плоскої задачі для векторів a і b буде мати наступний вигляд:

a_x	=	a_y	.
b_x		b_y

Тобто:

Вектора a і b колінеарні т.я.	1	=	2	.
	4		8

Вектори a і с не колінеарні т.я.	1	≠	2	.
	5		9

Вектора с і b не колінеарні т.я.	5	≠	9	.
	4		8

Приклад 2. Довести що вектори a = {0; 3} і b = {0; 6} колінеарні.

Розв'язок: Так як вектори мають компоненти що дорівнюють нулю, то скористаємось першою умовою колінеарності, знайдемо чи існує таке число n для якого:

b = na.

Для цього знайдемо ненульовий компонент вектора a в даному випадку це a_y. Якщо вектори колінеарні тоді

n =	b_y	=	6	= 2
	a_y		3

Знайдемо значення na:

na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}

Так як b = na, то вектори a і b колінеарні.

Приклад 3. Знайти значення параметра n при якому вектори a = {3; 2} і b = {9; n} колінеарні.

Розв'язок: Так як вектори не містять компонентів рівних нулю, то скористаємось другою умовою колінеарності

a_x	=	a_y	.
b_x		b_y

Тобто:

3	=	2	.
9		n

Розв'яжемо це рівняння:

n =	2 · 9	= 6
	3

Відповідь: вектори a і b колінеарні коли n = 6.

Приклади задач на колінеарність векторів в просторі

Приклад 4. Які з векторів a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} колінеарні?

Розв'язок: Так як вектори не містять компоненти що дорівнюють нулю, то скористаємось другою умовою колінеарності, яка у випадку просторової задачі для векторів a і b буде мати наступний вигляд:

a_x	=	a_y	=	a_z	.
b_x		b_y		b_z

Тобто:

Вектора a і b колінеарні т.я.	1	=	2	=	3	.
	4		8		12

Вектора a і с не колінеарні т.я.	1	=	2	≠	3	.
	5		10		12

Вектора с і b не колінеарні т.я.	5	=	10	≠	12	.
	4		8		12

Приклад 5. Довести що вектори a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} колінеарні.

b = na.

Для цього знайдемо ненульовий компонент вектора a в даному випадку це a_y. Якщо вектори колінеарні тоді

n =	b_y	=	6	= 2
	a_y		3

Знайдемо значення na:

na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}

Так як b = na, то вектори a і b колінеарні.

Приклад 6. Знайти значення параметрів n і m за яких вектори a = {3; 2; m} і b = {9; n; 12} колінеарні.

a_x	=	a_y	=	a_z	.
b_x		b_y		b_z

тобто:

3	=	2	=	m
9	=	n	=	12

З цього співвідношення отримаємо два рівняння:

3	=	2
9	=	n

3	=	m
9	=	12

Розв'яжемо ці рівняння:

n =	2 · 9	= 6
	3

m =	3 · 12	= 4
	9

Відповідь: вектори a і b колінеарні коли n = 6 і m = 4.

Вектори. Вступ та зміст Вектор: означення і основні поняття Знаходження координат вектора заданого координатами його початкової і кінцевої точки Модуль вектора. Довжина вектора Напрямні косинуси вектора Рівність векторів Ортогональність векторів Колінеарні вектори Компланарні вектори Кут між векторами Проекція вектора Додавання і віднімання векторів Множення вектора на число Скалярний добуток векторів Векторний добуток векторів Мішаний добуток векторів Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори Розклад вектора за базисом

Онлайн калькулятори з векторами

Онлайн вправи з векторами на площині

Онлайн вправи з векторами в просторі

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!