Лінійно залежні і лінійно незалежні вектори

Навігація по сторінці:

Означення лінійної комбінації векторів
Означення лінійно незалежної комбінацій векторів
Означення лінійно залежної комбінацій векторів
Властивості лінійно залежних векторів
Приклади задач на лінійну залежність та лінійну незалежність векторів

Означення. Лінійною комбінацією векторів a₁, ..., a_n з коефіцієнтами x₁, ..., x_n називається вектор

x₁a₁ + ... + x_na_n.

Означення. Лінійна комбінація x₁a₁ + ... + x_na_n називається тривіальною, якщо всі коефіцієнти x₁, ..., x_n дорівнюють нулю.

Означення. Лінійна комбінація x₁a₁ + ... + x_na_n називається нетривіальною, якщо хоча б один з коефіцієнтів x₁, ..., x_n не дорівнює нулю.

Означення. Вектори a₁, ..., a_n називаються лінійно незалежними, якщо не існує нетривіальної комбінації цих векторів що дорівнює нульовому вектору.

Тобто вектори a₁, ..., a_n лінійно незалежні якщо x₁a₁ + ... + x_na_n = 0 тоді і тільки тоді, коли x₁ = 0, ..., x_n = 0.

Означення. Вектори a₁, ..., a_n називаються лінійно залежними, якщо існує нетривіальна комбінація цих векторів що дорівнює нульовому вектору.

Властивості лінійно залежних векторів:

Для 2-х і 3-х вимірних векторів.
Два лінійно залежних вектора - колінеарні. (Колінеарні вектори - лінійно залежні.)
Для 3-х вимірних векторів.
Три лінійно залежних вектора - компланарні. (Три компланарні вектора - лінійно залежні.)
Для n -вимірних векторів.
n + 1 вектор завжди лінійно залежні.

Приклади задач на лінійну залежність та лінійну незалежність векторів:

Приклад 1. Перевірити чи будуть вектори a = {3; 4; 5}, b = {-3; 0; 5}, c = {4; 4; 4}, d = {3; 4; 0} лінійно незалежними.

Розв'язок:

Вектори будуть лінійно залежними, так як розмірність векторів менша за кількість векторів.

Приклад 2. Перевірити чи будуть вектори a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1} лінійно незалежними.

Розв'язок: Знайдемо значення коефіцієнтів при яких лінійна комбінація цих векторів буде дорівнювати нульовому вектору.

x₁a + x₂b + x₃c₁ = 0

Це векторне рівняння можна записати у вигляді системи лінійних рівнянь

	x₁ + x₂ = 0
	x₁ + 2x₂ - x₃ = 0
	x₁ + x₃ = 0

Розв'яжемо цю систему скориставшись методом Гауса

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	1

від другої строки віднімемо першу; від третьої строки віднімемо першу:

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0		0	-1	1

від першої стрічки віднімемо другу; до третьої стрічки додамо другу:

~	1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0	~	1	0	1
	0	1	-1	0		0	1	-1
	0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0		0	0	0

Цей розв'язок показує, що система має множину розв'язків, тобто існує не нульова комбінація значень чисел x₁, x₂, x₃ таких, що лінійна комбінація векторів a, b, c дорівнює нульовому вектору, наприклад:

-a + b + c = 0

а це означає що вектори a, b, c лінійно залежні.

Відповідь: вектори a, b, c лінійно залежні.

Приклад 3. Перевірити чи будуть вектори a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 2} лінійно незалежними.

x₁a + x₂b + x₃c₁ = 0

Це векторне рівняння можна записати у вигляді системи лінійних рівнянь

	x₁ + x₂ = 0
	x₁ + 2x₂ - x₃ = 0
	x₁ + 2x₃ = 0

Розв'яжемо цю систему використовуючи метод Гауса

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	2

від другої строки віднімемо першу; від третьої строки віднімемо першу:

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0		0	-1	2

від першої строки віднімемо другу; до третьої строки додамо другу:

~	1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0	~	1	0	1	~
	0	1	-1	0		0	1	-1
	0 + 0	-1 + 1	2 + (-1)	0 + 0		0	0	1

від першої строки віднімемо третю; до другої строки додамо третю:

~	1 - 0	0 - 0	1 - 1	0 - 0	~	1	0	0
	0 + 0	1 + 0	-1 + 1	0 + 0		0	1	0
	0	0	1	0		0	0	1

Даний розв'язок показує, що система має єдиний розв'язок x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 0, а це означає що вектори a, b, c лінійно незалежні.

Відповідь: вектори a, b, c лінійно незалежні.

Вектори. Вступ та зміст Вектор: означення і основні поняття Знаходження координат вектора заданого координатами його початкової і кінцевої точки Модуль вектора. Довжина вектора Напрямні косинуси вектора Рівність векторів Ортогональність векторів Колінеарні вектори Компланарні вектори Кут між векторами Проекція вектора Додавання і віднімання векторів Множення вектора на число Скалярний добуток векторів Векторний добуток векторів Мішаний добуток векторів Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори Розклад вектора за базисом

Онлайн калькулятори з векторами

Онлайн вправи з векторами на площині

Онлайн вправи з векторами в просторі

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!