Векторний добуток векторів
Навігація по сторінці:
Означення. Векторним добутком вектора a на вектор b називається вектор c, довжина якого чисельно дорівнює площі паралелограма побудованого на векторах a і b, перпендикулярний до площини цих векторів і напрямлений так, щоб найменше обертання від a до b навколо вектора c відбувалось проти годинникової стрілки, якщо дивитися з кінця вектора c (рис. 1).
 |
| рис. 1 |
Формули обрахунку векторного добутку векторів
Векторний добуток двох векторів a = {ax; ay; az} і b = {bx; by; bz} в декартовій системі координат - це вектор, значення якого можна порахувати, скориставшись наступними формулами:
| a × b = | i | j | k | = i(aybz - azby) - j(axbz - azbx) + k(axby - aybx) |
| ax | ay | az | ||
| bx | by | bz |
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}
Властивості векторного добутку векторів
- Геометричний зміст векторного добутку.Модуль векторного добутку двох векторів a і b дорівнює площі паралелограма побудованого на цих векторах:Sпарал = [a × b]
- Геометричний зміст векторного добутку.Площа трикутника побудованого на векторах a і b дорівнює половині модуля векторного добутку цих векторів:
SΔ = 1 |a × b| 2 - Векторний добуток двох не нульових векторів a і b дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори колінеарні.
- Вектор c, який дорівнює векторному добутку не нульових векторів a і b, перпендикулярний цим векторам.
- a × b = -b × a
- (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
- (a + b) × c = a × c + b × c
Приклади задач на обрахунок векторного добутку векторів
Приклад 1. Знайти векторний добуток векторів a = {1; 2; 3} і b = {2; 1; -2}.
= i(2 · (-2) - 3 · 1) - j(1 · (-2) - 2 · 3) + k(1 · 1 - 2 · 2) =
= i(-4 - 3) - j(-2 - 6) + k(1 - 4) = -7i + 8j - 3k = {-7; 8; -3}
Розв'язок:
| a × b = | i | j | k | = |
| 1 | 2 | 3 | ||
| 2 | 1 | -2 |
= i(2 · (-2) - 3 · 1) - j(1 · (-2) - 2 · 3) + k(1 · 1 - 2 · 2) =
= i(-4 - 3) - j(-2 - 6) + k(1 - 4) = -7i + 8j - 3k = {-7; 8; -3}
Розв'язок: Знайдемо векторний добуток цих векторів:
| a × b = | i | j | k | = |
| -1 | 2 | -2 | ||
| 2 | 1 | -1 |
= i(2 · (-1) - (-2) · 1) - j((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k((-1) · 1 - 2 · 2) =
= i(-2 + 2) - j(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5j - 5k = {0; -5; -5}
З властивостей векторного добутку:
| SΔ = | 1 | |a × b| = | 1 | √02 + 52 + 52 = | 1 | √25 + 25 = | 1 | √50 = | 5√2 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
Відповідь: SΔ = 2.5√2.
Вектори. Вступ та зміст
Вектор: означення і основні поняття
Знаходження координат вектора заданого координатами його початкової і кінцевої точки
Модуль вектора. Довжина вектора
Напрямні косинуси вектора
Рівність векторів
Ортогональність векторів
Колінеарні вектори
Компланарні вектори
Кут між векторами
Проекція вектора
Додавання і віднімання векторів
Множення вектора на число
Скалярний добуток векторів
Векторний добуток векторів
Мішаний добуток векторів
Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори
Розклад вектора за базисом
Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.
Підготовка до ДПА по темах.
Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!