OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Паралелограм. Формули, ознаки та властивості паралелограма

Означення.
Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні (лежать на паралельних прямих).
Паралелограми відрізняються між собою як розміром прилеглих сторін, так і кутами, проте протилежні кути однакові.
Зображення паралелограма з позначеннями Зображення паралелограма з позначеннями
Рис.1 Рис.2

Ознаки паралелограма

Чотирикутник ABCD буде паралелограмом, якщо виконується хоча б одна з наступних умов:
1. Чотирикутник має дві пари паралельних сторін:

AB||CD, BC||AD

2. Чотирикутник має пару паралельних та рівних сторін:

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

3. В чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні:

AB = CD, BC = AD

4. В чотирикутнику протилежні кути попарно рівні:

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

5. В чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться навпіл:

AO = OC, BO = OD

6. Сумма кутів чотирикутника прилеглих до будьякої сторони дорівнює 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

7. В чотирикутнику сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів його сторін:

AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2


Основні властивості паралелограма

Квадрат, прямокутник та ромб - є паралелограмом.
1. Протилежні сторони паралелограма мають однакову довжину:

AB = CD, BC = AD

2. Протилежні сторони паралелограма паралельні:

AB||CD,   BC||AD

3. Протилежні кути паралелограма однакові:

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

4. Сума кутів паралелограма дорівнює 360°:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Сумма кутів паралелограма прилеглих до будьякої сторони дорівнює 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

6. Кожна діагональ ділить паралелограма на два рівних трикутника
7. Дві діагональ ділять паралелограм на дві пари рівних трикутників
8. Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину розділяють одна одну навпіл:

AO = CO =  d1
2
BO = DO =  d2
2
9. Точка перетину діагоналей називається центром симетрії паралелограму
10. Сума квадратів діагоналей паралелограму дорівнює сумі квадратів його сторін:

AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2

11. Бісектриси протилежних кутів паралелограма завжди паралельні
12. Бісектриси сісідніх кутів паралелограма завжди перетинаються під прямим кутом (90°)

Сторони паралелограма

Формули визначення довжин сторін паралелограма:

1. Фрмула сторін паралелограма через діагоналі та кут між ними:

a = d12 + d22 - 2d1d2·cosγ = d12 + d22 + 2d1d2·cosδ
22
b = d12 + d22 + 2d1d2·cosγ = d12 + d22 - 2d1d2·cosδ
22
2. Формула сторін паралелограма через діагоналі та іншу сторону:

a = 2d12 + 2d22 - 4b2
2
b = 2d12 + 2d22 - 4a2
2
3. Формула сторін паралелограма через висоту та синус кута:
a = hb
sin α
b = ha
sin α
4. Формула сторін паралелограма через площу та висоту:
a = S
ha
b = S
hb

Діагоналі паралелограма

Означення.
Діагоналлю паралелограма називається будь-який відрізок який сполучає дві вершини протилежних кутів паралелограма.
Паралелограм має дві діагоналі - довшу, нехай будеd1, та коротшу - d2

Формули визначення довжини діагоналі паралелограма:

1. Формули діагоналей паралелограма через сторони та косинус кута β (за теоремрю косинусів)

d1 = √a2 + b2 - 2ab·cosβ

d2 = √a2 + b2 + 2ab·cosβ

2. Формули діагоналей паралелограма через сторони та косинус кута α (за теоремрю косинусів)

d1 = √a2 + b2 + 2ab·cosα

d2 = √a2 + b2 - 2ab·cosα

3. Формула діагоналі паралелограма через дві сторони та відому іншу діагональ:

d1 = √2a2 + 2b2 - d22

d2 = √2a2 + 2b2 - d12

4. Формула діагоналі паралелограма через площу, відому діагональ та кут між діагоналями:

d1 = 2S = 2S
d2·sinγd2·sinδ
d2 = 2S = 2S
d1·sinγd1·sinδ

Периметр паралелограма

Означення.
Периметром паралелограма називається сума довжин всіх сторін паралелограма.

Формули визначення довжини периметру паралелограма:

1. Формула периметру паралелограма через сторони паралелограма:

P = 2a + 2b = 2(a + b)

2. Формула периметру паралелограма через одну сторону та дві діагоналі:

P = 2a + √2d12 + 2d22 - 4a2

P = 2b + √2d12 + 2d22 - 4b2

3. Формула периметру паралелограма через одну сторону, висоту та синус кута:
P = 2(b + hb)
sin α
P = 2(a + ha)
sin α

Площа паралелограма

Означення.
Площею паралелограма називається простір який обмежений сторонами паралелограма, тобто в межах периметру паралелограма.

Формули визначення площі паралелограма:

1. Формула площі паралелограма через сторону та висоту, проведену до цієї сторони:

S = a · ha
S = b · hb

2. Формула площі паралелограма через дві сторони та синус кута між ними:

S = ab sinα

S = ab sinβ

3. Формула площі паралелограма через дві діагоналі та синус кутa між ними:

S = 1d1d2 sin γ
2
S = 1d1d2 sin δ
2

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0