OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Трапеція. Формули, ознаки та властивості трапеції

Означення.
Трапеція — це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.

Паралельні сторони називаються основами трапеції, а дві інші боковими сторонами

Також, трапецією називається чотирикутник, у якого одна пара протилежних сторін паралельна, але сторони не рівні між собою.

Елементи трапеції:
  • Основи трапеції - паралельні сторони
  • Бокові сторони - дві інші сторони
  • Середня лінія - відрізок, що з'єднує середини бокових сторін.
Види трапецій:
  • Рівнобедрена трапеція - трапеція, у якої бокові сторони рівні
  • Прямокутна трапеція - трапеція, у якої одна із бокових сторін перпендикулярна основам.
Зображення трапеції з позначеннями Зображення трапеції з позначеннями
Рис.1 Рис.2

Основні властивості трапеції

1. В трапецію можна вписати коло, якщо сума довжин основи рівна сумі довжин бокових сторін:

AB + CD = BC + AD

2. Середня лінія трапеції розділяє навпіл будь-який відрізок, який з'єднує основи,а також ділить навпіл діагоналі:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Середня лінія трапеції паралельна основам і рівна їх півсумі:
m = a + b
2
4. Точка перетину діагоналей трапеції і середини основ лежать на одній прямій.
5. В трапеції бокову сторону видно із центра вписаного кола під кутом 90°.
6. Кожна діагональ в точці перетину ділиться на дві частини з таким співвідношенням довжини, як співвідношення між основами:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Діагоналі трапеції d1 і d2 пов'язані зі сторонами співвідношенням:

d12 + d22 = 2ab + c2 + d2


Сторона трапеції

Формули визначення довжин сторін трапеції:

1. Формула довжини основ трапеції через середню лінію та іншу основу:

a = 2m - b

b = 2m - a

2. Формули довжин основ через висоту та кути при нижній основі:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a - h · (ctg α + ctg β)

3. Формули довжини основ через бокові сторони та кути при нижній основі:

a = b + cos α + cos β

b = a - cos α - cos β

4. Формули бокових сторін через висоту та кути при нижній основі:
с = h       d = h
sin αsin β

Середня лінія трапеції

Означення.
Середня лінія - відрізок, що з'єднує середини бокових сторін трапеції.

Формули визначення довжини середньої лінії трапеції:

1. Формула визначення довжини середньої лінії через довжини основ:
m = a + b
2
2. Формула визначення довжин середньої лінії через площу та висоту:
m = S
h

Висота трапеції

Формули визначення довжин висоти трапеції:

1. Формула висоти через сторону та прилеглий кут при основі:

h = sin α = sin β

2. Формула висоти через діагоналі та кути між ними:
h = sin γ · d1 d2 = sin δ · d1 d2
a + ba + b
3. Формула висоти через діагоналі, кути між ними та середню лінію:
h = sin γ · d1 d2 = sin δ · d1 d2
2m2m
4. Формула висоти трапеції через площу та довжини основ:
h = 2S
a + b
5. Формула висоти трапеції через площу та довжину середньої лінії:
h = 2S
m

Діагоналі трапеції

Формули визначення довжин діагоналей трапеції:

1. Формули діагоналей за теоремою косинусів:

d1 = √a2 + d2 - 2ad·cos β

d2 = √a2 + c2 - 2ac·cos β

2. Формули діагоналей через чотири сторони:
d1 =  d 2 + ab -  a(d 2 - c2)       d2 =  c2 + ab -  a(c2 - d 2)
a - ba - b
3. Формула довжини діагоналей через висоту:

d1 = √h2 + (a - h · ctg β)2 = √h2 + (b + h · ctg α)2

d2 = √h2 + (a - h · ctg α)2 = √h2 + (b + h · ctg β)2

4. Формула довжини діагоналей через суму квадратів діагоналей:

d1 = √c2 + d 2 + 2ab - d22

d2 = √c2 + d 2 + 2ab - d12


Площа трапеції

Формули визначення площі трапеції:

1. Формула площі через основи та висоту:
S = (a + b) · h
2
2. Формула площі через середню лінію та висоту:

S = m · h

3. Формула площі через діагоналі та кут між ними:
S = d1d2 · sin γ = d1d2 · sin δ
22
4. Формула площі через чотири сторони:
S = a + bc2 - ((a - b)2 + c2 - d 2)2
22(a - b)
5. Формула Герона для трапеції:
S = a + b(p - a)(p - b)(p - a - c)(p - a - d)
|a - b|
де
p = a + b + c + d  - півпериметр трапеції.
2

Периметр трапеції

Формула визначення периметра трапеції:

1. Формула периметра через основи:

P = a + b + c + d


Описане коло навколо трапеції

Коло можна описати лише навколо рівнобедреної трапеції!!!

Формула визначення радіуса описаної навколо трапеції кола:

1. Формула радіуса через сторони та діагональ:

R = a·c·d1
4√p(p - a)(p - c)(p - d1)
де
p = a + c + d1
2
a - більша основа

Вписане коло в трапецію

В трапецію можна вписати коло, якщо сума довжин основ рівна сумі довжин бокових сторін:

a + b = c + d

Формула визначення радіуса вписаного в трапецію кола:

1. Формула радіуса вписаного кола через висоту:

r = h
2

Інші відрізки різносторонньої трапеції

Формули визначення довжин відрізків, що проходять через трапецію:

1. Формула визначення довжин відрізків, що проходять через трапецію:
KM = NL = b       KN = ML = a       TO = OQ = a · b
22a + b

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0