OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Прямокутник. Формули та властивості прямокутника

Означення.
Прямокутник - це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони рівні і всі чотири кути однакові.

Прямокутники відрізняються між собою тільки співвідношенням довгої сторони до короткої, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90 градусів.

Довшу сторону прямокутника називають довжиною прямокутника, а коротшу - шириною прямокутника.

Сторони прямокутника одночасно є його висотами.

Зображення прямокутника з позначеннями Зображення прямокутника з позначеннями
Рис.1 Рис.2

Основні властивості прямокутника

Прямокутником можуть бути паралелограм, ромб або квадрат.
1. Протилежні сторони прямокутника мають однакову довжину, тобто вони рівні:

AB = CD,   BC = AD

2. Протилежні сторони прямокутника паралельні:

AB||CD,   BC||AD

3. Прилеглі сторони прямокутника завжди перпендикулярні:

AB BC,   BC CD,   CD AD,   AD AB

4. Всі чотири кути прямокутника прямі:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сума кутів прямокутника дорівнює 360 градусів:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Діагоналі прямокутника мають однакової довжини:

AC = BD

7. Сума квадратів діагоналі прямокутника дорівнюють сумі квадратів сторін:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Кожна діагональ прямокутника ділить прямокутник на дві однакові фігури, а саме на прямокутні трикутники.
9. Діагоналі прямокутника перетинаються і в точці перетину діляться навпіл:

         AO = BO = CO = DO =  d
2
10. Точка перетину діагоналей називається центром прямокутника, а також є центром описаного кола
11. Діагональ прямокутника є діаметром описаного кола
12. Навколо прямокутника завжди можна описати коло, бо сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів:

∠ABC = ∠CDA = 180°   ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. В прямокутник, у якого довжина не дорівнює ширині, не можна вписати коло, бо суми протилежних сторін не рівні між собою (вписати коло можно тільки в частинний випадок прямокутника - квадрат).

Сторони прямокутника (довжина і ширина прямокутника)

Означення.
Довжиною прямокутника називають довжину довшої пари його сторін. Шириною прямокутника називають довжину коротшої пари його сторін.

Формули визначення довжин сторін прямокутника

1. Формули сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через діагональ та іншу сторону:

a = √d2 - b2

b = √d2 - a2

2. Формули сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через площу та іншу сторону:
a = S
b
b = S
a
3. Формули сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через периметр та іншу сторону:
a = P - 2b
2
b = P - 2a
2
4. Формули сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через діаметр та кут α:

a = d sinα

b = d cosα

5. Формули сторін прямокутника (довжини та ширина прямокутника) через діаметр та кут β:
a = d sin β
2
b = d cos β
2

Діагональ прямокутника

Означення.
Діагоналлю прямокутника називається будь-який відрізок, який сполучає дві вершини протилежних кутів прямокутника.

Формули визначення довжини діагоналі прямокутника

1. Формула діагоналі прямокутника через дві сторони прямокутника (через теорему Піфагора):

d = √a2 + b2

2. Формула діагоналі прямокутника через площу та будь-яку сторону:
d = S2 + a4 = S2 + b4
ab
3. Формула діагоналі прямокутника через периметр та будь-яку сторону:
d = P2 - 4Pa + 8a2 = P2 - 4Pb + 8b2
22
4. формула діагоналі прямокутника через радіус описаного кола:

d = 2R

5. формула діагоналі прямокутника через діаметр описаного кола:

d = Dо

6. формула діагоналі прямокутника через синус кута, прилеглого до діагоналі, та протилежної сторони цього кута:
d = a
sin α
7. Формула діагоналі прямокутника через косинус кута, прилеглого до діагоналі, та прилеглої сторони до цього кута:
d = b
cos α
8. Формула діагоналі прямокутника через синус гострого кута між діагоналями та площею прямокутника

d = √2S : sin β


Периметр прямокутника

Означення.
Периметром прямокутника називається сума довжин всіх сторін прямокутника.

Формули визначення довжини периметру прямокутника

1. Формула периметру прямокутника через дві сторони прямокутника:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. Формула периметру прямокутника через площу та будь-яку сторону:
P = 2S + 2a2 = 2S + 2b2
ab
3. Формула периметру прямокутника через діагональ та будь-яку сторону:

P = 2(a + √d2 - a2) = 2(b + √d2 - b2)

4. Формула периметру прямокутника через радіус описаного кола та будь-яку сторону:

P = 2(a + √4R2 - a2) = 2(b + √4R2 - b2)

5. Формула периметру прямокутника через діаметр описаного кола та будь-яку сторону:

P = 2(a + √Do2 - a2) = 2(b + √Do2 - b2)


Площа прямокутника

Означення.
Площею прямокутника називається простір який обмежений сторонами прямокутника, тобто в межах периметру прямокутника.

Формули визначення площі прямокутника

1. Формула площі прямокутника через дві сторони:

S = a · b

2. Формула площі прямокутника через периметр та будь-яку сторону:
S = Pa - 2a2 = Pb - 2b2
22
3. Формула площі прямокутника через діагональ та будь-яку сторону:

S = ad2 - a2 = bd2 - b2

4. Формула площі прямокутника через діагональ та синус гострого кута між діагоналями:
S = d2 · sin β
2
5. Формула площі прямокутника через радіус описаного кола та будь-яку сторону:

S = a4R2 - a2 = b4R2 - b2

6. Формула площі прямокутника через діаметр описаного кола та будь-яку сторону:

S = aDo2 - a2 = bDo2 - b2


Коло, описане навколо прямокутника

Означення.
Колом, описаним навколо прямокутника, називається коло, яке проходить тільки через чотири вершини кутів прямокутника і має центр на перетині діагоналей прямокутника.

Формули визначення радіуса кола, описаного навколо прямокутника

1. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через дві сторони:
R = a2 + b2
2
2. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через периметр квадрата та будь-яку сторону:
R = P2 - 4Pa + 8a2 = P2 - 4Pb + 8b2
44
3. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через площу квадрата:
R = S2 + a4 = S2 + b4
2a2b
4. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через діагональ квадрату:
R = d
2
5. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через діаметр описаного кола:
R = Dо
2
6. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через синус кута, прилеглого до діагоналі, та протилежної сторони цього кута:
R = a
2sin α
7. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через косинус кута, прилеглого до діагоналі, та прилеглої сторони цього кута:
R = b
2cos α
8. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через синус гострого кута між діагоналями та площею прямокутника:
R = 2S : sin β
2

Кут між стороною та діагоналлю прямокутника

Формули визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника

1. Формула визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника через діагональ та сторону:
sin α = a
d
cos α = b
d
2. Формула визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника через кут між діагоналями:
α = β
2

Кут між діагоналями прямокутника

Формули визначення кута між діагоналями прямокутника

1. Формула визначення кута між діагоналями прямокутника через кут між стороною та діагоналлю:

β = 2α

2. Формула визначення кута між діагоналями прямокутника через площу і діагональ прямокутника:
sin β = 2S
d2

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0