OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Ромб. Формули, ознаки та властивості ромба

Означення.
Ромб — це паралелограм, який має рівні сторони. Якщо у ромба всі кути прямі, тоді він називається квадратом.
Ромби відрізняються між собою за сторонами та кутами.
Зображення з позначеннями Зображення з позначеннями
Рис.1 Рис.2

Ознаки ромба

Паралелограм ABCD буде ромбом, якщо виконується хоча б одна із наступних умов:
1. Дві його суміжні сторони рівні (звідси випливає, що всі сторони рівні):

АВ = ВС = СD = AD

2. Його діагоналі перетинаються під прямим кутом:

ACBD

3. Одна із діагоналей (бісектриса) ділить кути навпіл:

∠BAC = ∠CAD або ∠BDA = ∠BDC

4. Якщо всі висоти рівні:

BN = DL = BM = DK

5. Якщо діагоналі ділять паралелограм на чотири рівні прямокутні трикутники:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Якщо в паралелограм можна вписати круг.

Основні властивості ромба

1. Має всі властивості паралелограма
2. Діагоналі перпендикулярні:

ACBD

3. Діагоналі є бісектрисами кутів ромба:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сума квадратів діагоналей рівна квадрату сторони, помноженому на чотири:

AC2 + BD2 = 4AB2

5. Точка перетину діагоналей називається центром симетрії ромба.
6. В будь-який ромб можна вписати коло.
7. Центром кола, вписаного в ромб, буде точка перетину його діагоналей.

Сторона ромба

Формули визначення довжини сторони ромба:

1. Формула сторони ромба через площу і висоту:
a = S
ha
2. Формула сторони ромба через площу і синус кута:
a = S
sinα
a = S
sinβ
3. Формула сторони ромба через площу і радіус вписаного кола:
a = S
2r
4. Формула сторони ромба через дві діагоналі:
a = d12 + d22
2
5. Формула сторони ромба через діагональ і косинус гострого кута (cos α) або косинус тупого кута (cos β):
a = d1
2 + 2 cosα
a = d2
2 - 2 cosβ
6. Формула сторони ромба через більшу діагональ і половинний кут:
a = d1
2cos(α/2)
a = d1
2sin(β/2)
7. Формула сторони ромба через малу діагональ і половинний кут:
a = d2
2cos(β/2)
a = d2
2sin(α/2)
8. Формула сторони ромба через периметр:
a = Р
4

Діагоналі ромба

Означення.
Діагональ ромба - це довільний відрізок, що з'єднує дві вершини протилежних кутів ромба.
Ромб має дві діагоналі - більшу d1, та меншу - d2

Формули визначення довжини діагоналі ромба:

1. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

d1 = a2 + 2 · cosα

d1 = a2 - 2 · cosβ

2. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

d2 = a2 + 2 · cosβ

d2 = a2 - 2 · cosα

3. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

d1 = 2a · cos(α/2)

d1 = 2a · sin(β/2)

4. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

d2 = 2a · sin(α/2)

d2 = 2a · cos(β/2)

5. Формули діагоналей ромба через сторону і другу діагональ:

d1 = √4a2 - d22

d2 = √4a2 - d12

6. Формули діагоналей через тангенс гострого tgα або тупого tgβ кута і другу діагональ:

d1 = d2 · tg(β/2)

d2 = d1 · tg(α/2)

7. Формули діагоналей через площу і другую діагональ:

d1 = 2S
d2
d2 = 2S
d1
8. Формули діагоналей через синус половинного кута і радіус вписаного кола:

d1 = 2r
sin(α/2)
d2 = 2r
sin(β/2)

Периметр ромба

Означення.
Периметром ромба називається сума довжин всіх сторін ромба.

Довжину сторони ромба можна знайти за формулами, вказаними вище.

Формула визначення довжини периметра ромба:

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4a


Площа ромба

Означення.
Площа ромба - це простір, обмежений сторонами ромба, тобто в межах периметра ромба.

Формули визначення площі ромба:

1. Формула площі ромба через сторону і висоту:

S = a · ha

2. Формула площі ромба через сторону і синус будь-якого кута:

S = a2 · sinα

3. Формула площі ромба через сторону і радіус:

S = 2a · r

4. Формула площі ромба через дві діагоналі:

S = 1d1d2
2
5. Формула площі ромба через синус кута і радіус вписаного кола:

S = 4r2
sinα
6. Формули площі через більшу діагональ і тангенс гострого кута (tgα) або малу діагональ і тангенс тупого кута (tgβ):

S = 1d12 · tg(α/2)
2
S = 1d22 · tg(β/2)
2

Коло, вписане у ромб

Означення.
Колом, вписаним у ромб, називається коло, що дотикається до всіх сторін ромба та має центр на перетині діагоналей ромба.

Формули визначення радіуса кола, вписаного в ромб:

1. Формула радиуса кола, вписаного в ромб, через висоту ромба:

r = h
2
2. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та сторону ромба:

r = S
2a
3. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та синус кута:

r = S · sinα
2
4. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через сторону і синус будь-якого кута:

r = a · sinα
2
r = a · sinβ
2
5. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через діагональ та синус кута:

r = d1 · sin(α/2)
2
r = d2 · sin(β/2)
2
6. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі:

r = d1 · d2
2√d12 + d22
7. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі та сторону:

r = d1 · d2
4a

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0