OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Рівнобічна трапеція. Формули, ознаки та властивості рівнобічної трапеції

Означення.
Рівнобічна трапеція — це трапеція, у якої бокові сторони рівні.
На цій сторінці представлені формули, що характерні рівнобічній трапеції. Не забувайте, що для рівнобічної трапеції виконуються всі формули та властивості трапеції.
Зображення рівнобічної трапеції з позначеннями
Рис.1

Ознаки рівнобічної трапеції

Трапеція буде рівнобічною, якщо виконується одна із цих умов:
1. Кути при основі рівні:

∠ABC = ∠BCD і ∠BAD = ∠ADC

2. Діагоналі рівні:

AC = BD

3. Однакові кути між діагоналями і основами:

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

4. Сума протилежних кутів дорівнює 180°:

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

5. Навколо трапеції можна описати коло

Основні властивості рівнобічної трапеції

1. Сума кутів прилеглих до бокової сторони рівнобічної трапеції дорівнює 180°:

∠ABC + ∠BAD = 180° і ∠ADC + ∠BCD = 180°

2. Якщо в рівнобічну трапецію можна вписати коло, то бокова сторона дорівнює середній лінії трапеції:

AB = CD = m

3. Навколо рівнобічної трапеції можна описати коло
4. Якщо діагоналі взаємно перпендикулярні, то висота дорівнює півсумі основ (середній лінії):

h = m

5. Якщо діагоналі взаємно перпендикулярні, то площа трапеції дорівнює квадрату висоти:

SABCD = h2

6. Якщо в рівнобічну трапецію можна вписати коло, то квадрат висоти рівний добутку основ трапеції:

h2 = BC · AD

7. Сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів бокових сторін плюс подвоєному добутку основ трапеції:

AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC · AD

8. Пряма, що проходить через середини основ, перпендикулярна основам і являється віссю симетрії трапеції:

HF BC AD

9. Висота (CP), опущена із вершини (C) на більшу основу (AD), ділить її на більший відрізок (AP), який дорівнює півсумі основ та менший (PD) - дорівнює піврізниці основ:
AP = BC + AD
2
PD = AD - BC
2
10. Також дивіться властивості трапеції

Сторони рівнобічної трапеції

Формули довжин сторін рівнобічної трапеції:

1. Формули довжин сторін через інші сторони, висоту та кут:

a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α

b = a - 2h ctg α = a - 2c cos α

c = h = a - b
sin α2 cos α
2. Формула довжини сторін трапеції через діагоналі та інші сторони:
a = d12 - c2       b = d12 - c2       c = √d12 - ab
ba
3. Формули довжини основ через площу, висоту та іншу основу:
a = 2S - b      b = 2S - a
hh
4. Формули довжини бокової сторони через площу, середню лінію та кут при основі:
с = S
m sin α
5. Формули довжини бокової сторони через площу, основи та кут при основі:
с = 2S
(a + b) sin α

Середня лінія рівнобічної трапеції

Формули довжини середньої лінії рівнобічної трапеції:

1. Формула визначення довжини середньої лінії через основи, висоту та кут при основі:

m = a - h ctg α = b + h ctg α = a - √c2 - h2 = b + √c2 - h2

2. Формула середньої лінії трапеції через площу та сторону:
m = S
c sin α

Висота рівнобічної трапеції

Формули визначення довжини висоти рівнобічної трапеції:

1. Формула висоти через сторони:
h = 14c2 - (a - b)2
2
2. Формула висоти через сторони та кут прилеглий до основи:
h = a - b tg β = c sin β
2

Діагоналі рівнобічної трапеції

Діагоналі рівнобічної трапеції рівні:

d1 = d2

Формула довжини діагоналей рівнобічної трапеції:

1. Формула довжини діагоналі через сторони:

d1 = √с2 + ab

2. Формули довжини діагоналі по теоремі косинусів:

d1 = √a2 + c2 - 2ac cos α

d1 = √b2 + c2 - 2bc cos β

3. Формула довжини діагоналі через висоту та середню лінію:

d1 = √h2 + m2

4. Формула довжини діагоналі через висоту та основи:
d1 = 14h2 + (a + b)2
2

Площа рівнобічної трапеції

Формули площі рівнобічної трапеції:

1. Формула площі через сторони:
S = a + b4c2 - (a - b)2
4
2. Формула площі через сторони та кут:

S = (b + c cos α) c sin α = (a - c cos α) c sin α

3. Формула площі через радіус вписаного кола та кут між основою та боковою стороною:
S = 4 r 2 = 4 r 2
sin αsin β
4. Формула площі через основи та кут між основою та боковою стороною:
S = ab = ab
sin αsin β
5. Формула площі рівнобічної трапеції, в яку можна вписати коло:

S = (a + b) · r = √ab·c = √ab·m

6. Формула площі через діагоналі та кут між ними:
S = d12 · sin γ = d12 · sin δ
22
7. Формула площі через середню лінію, бокову сторону та кут при основі:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площі через основи та висоту:
S = a + b · h
2

Коло описане навколо трапеції

Коло можна описати лише навколо рівнобічної трапеції!!!

Формула радіуса описаного навколо трапеції кола:

1. Формула радіуса через сторони та діагональ:

R = a·c·d1
4√p(p - a)(p - c)(p - d1)
де
p = a + c + d1
2
a - більша основа

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0