OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Конус. Формули, ознаки та властивості конуса

Означення.
Конус — це геометричне тіло, яке утворене сукупністю всіх променів, що виходять з точки та перетинають будь-яку плоску поверхню. В місці перетину утворюється основа конуса.
Зображення конуса з позначеннями Зображення конуса з позначеннями
Мал.1 Мал.2
 
 
Зображення конуса з позначеннями Зображення конуса з позначеннями
Мал.3 Мал.4

Елементи конуса

Означення. Вершина конуса - це точка (K), з якої виходять промені.
Означення. Основа конуса - це площина, що утворена внаслідок перетину плоскої поверхні та всіх променів, що виходять з вершини конуса. У конуса можуть бути такі основи, як круг, еліпс, гіпербола та парабола.
Означення. Твірною конуса (L) називається будь-який відрізок, які сполучає вершину конуса з межею основи конуса. Твірна є відрізком променя, що виходить з вершини конуса.
Формула. Довжина твірної (L) прямого кругового конуса через радіус R та висоту H (через теорему Піфагора):

L2 = R2 + H2

Означення. Напрямна конуса - це крива, яка описує контур основи конуса.
Означення. Бічна поверхня конуса - це сукупність усіх твірних конуса. Тобто, поверхня, яка утворюється рухом твірної по напрямній конуса.
Означення. Поверхня конуса складається з бічної поверхні та основи конуса.
Означення.Висота конуса (H) - це відрізок, який виходить з вершини конуса та перпендикулярний до його основи.
Означення. Вісь конуса (a) - це пряма, яка проходить через вершину конуса та центр основи конуса.
Означення. Конусність (С) конуса - це відношення діаметра основи конуса до його висоти. У випадку зрізаного конуса - це відношення різниці діамерів поперечних перерізів D та d зрізаного конуса до відстані між ними:
C = D      та      C = D - d
Hd
де C - конусність, D - діаметр основи, d - діаметр меншої основи та h - відстань між основами.

Конусність характеризує гостроту конуса, тобто, кут нахилу твірної до основи конуса. Чим більша конусність, тим гостріший кут нахилу. Кут конуса α буде:
α = 2arctgR
H
де R - радіус основи, а H - висота конуса.
Осьовий переріз конуса з позначеннями
Означення. Осьовий переріз конуса - це переріз конуса площиною, яка проходить через вісь конуса. Такий переріз утворює рівнобедрений трикутник, у якого сторони утворені твірними, а основа трикутника - це діаметр основи конуса.
Осьовий переріз конуса з позначеннями
Означення. Дотична площина до конуса - це площина, яка проходить через твірну конуса і перепендикулярна до осьового перерізу конуса.
Означення. Конус, що спирається на круг, еліпс, гіперболу чи параболу називається відповідно круговим, еліптичним, гіперболічним чи параболічним конусом (останні два мають нескінченний об'єм).
Прямий конус з позначеннями
Означення. Прямий конус - це конус у якого вісь перпендикулярна основі. В такого конуса вісь співпадає з висотою, а всі твірні рівні між собою.
Формула. Об'єм кругового конуса:
V = 1πHR2
3
де R - радіус основи, а H - висота конуса.
Формула. Площа бічної поверхні (Sb) прямого конуса через радіус R та довжину твірної L:

Sb = πRL

Формула. Загальна площа поверхні (Sp) прямого кругового конуса через радіус R та довжину твірної L:

Sp = πRL + πR2

Косий (похилий) конус з позначеннями
Означення. Косий (похилий) конус - це конус у якого вісь не перпендикулярна основі. В такого конуса вісь не співпадає з висотою.
Формула. Об'єм будь-якого конуса:
V = 1SH
3
де S - площа основи, а H - висота конуса.
Зрізаний конус з позначеннями
Означення. Зрізаний конус - це частина конуса, яка знаходиться між основою конуса та площиною перетину, що паралельна основі.
Формула. Об'єм зрізаного конуса:
V = 1(S2H - S1h)
3
де S1 та S2 - площі меншої та більшої основи відповідно, а H та h - відстань від вершини конуса до центру нижньої та верхньої основи відповідно.

Рівняння конуса

1. Рівняння прямого кругового конуса в декартовій системі координат з координатами (x, y, z):
x2 + y2 - z2 = 0
a2a2c2
2. Рівняння прямого еліптичного конуса в декартовій системі координат з координатами (x, y, z):
x2 + y2 = z2
a2b2c2

Основні властивості кругового конуса

1. Всі твірні прямого кругового конуса рівні між собою.
2. При обертанні прямокутного трикутника навколо свого катета на 360° утворюється прямий коловий конус.
3. При обертанні рівнобедреного трикутника навколо своєї вісі на 180° утворюється прямий коловий конус.
4. В місці перетину конуса площиною, яка паралельна основі конуса, утворюється коло. (див. Зрізаний конус)
5. Якщо при перетині площина не паралельна основі конуса і не перетинається з основою, то в місці перетину утвориться еліпс (мал. 3).
6. Якщо площина перерізу проходить через основу, то в місці перетину утвориться парабола (мал. 4).
7. Якщо площина перерізу проходить через вершину, то в місці перетину утвориться рівнобедрений трикутник (див. Осьовий переріз).
8. Центр ваги будь-якого конуса знаходиться на одній четвертій висоти від центра основи.

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0