OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Квадрат. Формули та властивості квадрата

Означення.
Квадрат - це чотирикутник, у якого всі чотири сторони та кути однакові. Квадрати відрізняються між собою тільки довжиною сторони, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90°.
Зображення квадрату з позначеннями Зображення квадрату з позначеннями
Рис.1 Рис.2

Основні властивості квадрату

Квадратом також можуть бути паралелограм, ромб або прямокутник якщо вони мають однакові довжини діагоналей, сторін та однакові кути.
1. Всі чотири сторони квадрата мають однакову довжину, тобто вони рівні:

AB = BC = CD = AD

2. протилежні сторони квадрата паралельні:

AB||CD,   BC||AD

3. Всі чотири кути квадрата прямі:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

4. Сума кутів квадрата дорівнює 360 градусів:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Діагоналі квадрата мають однакової довжини:

AC = BD

6. Кожна діагональ квадрата ділить квадрат на дві однакові симетричні фігури
7. Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом, і розділяють одна одну навпіл:

ACBD        AO = BO = CO = DO =  d
2
8. Точка перетину діагоналей називається центром квадрату і також є центром вписаного та описаного кола
9. Кожна діагональ ділить кут квадрату навпіл, тобто вони є бісектрисами кутів квадрату:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обидві діагоналі розділяють квадрат на чотири рівні трикутника, до того ж ці трикутники одночасно і рівнобедрені, і прямокутні:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA


Діагональ квадрата

Означення.
Діагоналлю квадрата називається будь-який відрізок, який сполучає дві вершини протилежних кутів квадрата.
Діагональ будь-якого квадрату завжди більша за його сторону в √2 раз.

Формули визначення довжини діагоналі квадрата

1. формула діагоналі квадрата через сторону квадрата:

d = a·√2

2. формула діагоналі квадрата через площу квадрата:

d = √2S

3. формула діагоналі квадрата через периметр квадрата:
d = P
2√2
4. формула діагоналі квадрата через радіус описаного кола:

d = 2R

5. формула діагоналі квадрата через діаметр описаного кола:

d = Dо

6. формула діагоналі квадрата через радіус вписаного кола:

d = 2r2

7. формула діагоналі квадрата через діаметр вписаного кола:

d = Dв2

8. формула діагоналі квадрата через довжину відрізка l:
d = l 2√10
5

Периметр квадрата

Означення.
Периметром квадрата називається сума довжин всіх сторін квадрату.

Формули визначення довжини периметра квадрата

1. Формула периметра квадрата через сторону квадрата:

P = 4a

2. Формула периметра квадрата через площу квадрата:

P = 4√S

3. Формула периметра квадрата через діагональ квадрата:

P = 2d2

4. Формула периметра квадрата через радіус описаного кола:

P = 4R√2

5. Формула периметра квадрата через діаметр описаного кола:

P = 2Dо2

6. Формула периметра квадрата через радіус вписаного кола:

P = 8r

7. Формула периметра квадрата через діаметр вписаного кола:

P = 4Dв

8. Формула периметра квадрата через довжину відрізка l:
P = l 8
5

Площа квадрата

Означення.
Площею квадрата називається простір який обмежений сторонами квадрата, тобто в межах периметру квадрата.
Площа квадрата більша площі будь-якого чотирикутника з таким же периметром.

Формули площі квадрата

1. формула площі квадрата через сторону квадрата:

S = a2

2. Формула площі квадрата через периметр квадрата:
S = P2
16
3. Формула площі квадрата через діагональ квадрата:
S = d2
2
4. Формула площі квадрата через радіус описаного кола:

S = 2R2

5. Формула площі квадрата через діаметр описаного кола:
S = Do2
2
6. Формула площі квадрата через радіус вписаного кола:

S = 4r2

7. Формула площі квадрата через діаметр вписаного кола:

S = Dв2

8. Формула площі квадрата через довжину відрізка l:
S = l 2 16
5

Коло, описане навколо квадрата

Означення.
Колом, описаним навколо квадрата, називається таке коло, яке проходить тільки через чотири вершини кутів квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрату.

Радіус кола, описаного навколо квадрата, завжди більший за радіус вписаного кола в √2 разів.

Радіус кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині діагоналі.

Площа круга, описаного навколо квадрата, більша площі того же квадрата в π/2 раз.

Формули визначення радіуса кола описаного навколо квадрата

1. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через сторону квадрата:
R = a 2
2
2. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через периметр квадрата:
R = P
4√2
3. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через площу квадрата:
R = 2S
2
4. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через діагональ квадрата:
R = d
2
5. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через діаметр описаного кола:
R = Dо
2
6. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через радіус вписаного кола:

R = r2

7. формула радіуса кола описаного навколо квадрата через діаметр вписаного кола:
R = Dв 2
2
8. формула радіуса кола, описаного навколо квадрата, через довжину відрізка l:
R = l 10
5

Коло, вписане в квадрат

Означення.
Колом, вписаним в квадрат, називається коло, яке дотикається до середин сторін квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрата.

Радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата.

Площа круга, вписаного в квадрат, менша площі квадрата в π/4 рази.

Формули визначення радіуса кола, вписаного в квадрат

1. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через сторону квадрата:
r = a
2
2. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через діагональ квадрата:
r = d
2√2
3. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через периметр квадрата:
r = P
8
4. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через площу квадрата:
r = S
2
5. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через радіус описаного кола:
r = R
2
6. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через діаметр описаного кола:
r = Dо
2√2
7 формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через діаметр вписаного кола:
r = Dв
2
8. формула радіуса кола, вписаного в квадрат, через довжину відрізка l:
r = l
5

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0