OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Векторний добуток векторів

Означення. Векторним добутком вектора a на вектор b називається вектор c, довжина якого чисельно дорівнює площі паралелограма побудованого на векторах a і b, перпендикулярний до площини цих векторів і напрямлений так, щоб найменше обертання від a до b навколо вектора c відбувалось проти годинникової стрілки, якщо дивитися з кінця вектора c (рис. 1).
Векторний добуток векторів
рис. 1

Формули обрахунку векторного добутку векторів

Векторний добуток двох векторів a = {ax; ay; az} і b = {bx; by; bz} в декартовій системі координат - це вектор, значення якого можна порахувати, скориставшись наступними формулами:

a × b =     i      j      k     = i(aybz - azby) - j(axbz - azbx) + k(axby - aybx)
 ax  ay  az 
 bx  by  bz 
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}

Властивості векторного добутку векторів

  • Геометричний зміст векторного добутку.
    Модуль векторного добутку двох векторів a і b дорівнює площі паралелограма побудованого на цих векторах:
    Sпарал = [a × b]
  • Геометричний зміст векторного добутку.
    Площа трикутника побудованого на векторах a і b дорівнює половині модуля векторного добутку цих векторів:
    SΔ = 1|a × b|
    2
  • Векторний добуток двох не нульових векторів a і b дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори колінеарні.
  • Вектор c, який дорівнює векторному добутку не нульових векторів a і b, перпендикулярний цим векторам.
  • a × b = -b × a
  • (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
  • (a + b) × c = a × c + b × c

Приклади задач на обрахунок векторного добутку векторів

Приклад 1. Знайти векторний добуток векторів a = {1; 2; 3} і b = {2; 1; -2}.

Розв'язок:

a × b  i   j   k   =
 1   2   3 
 2   1   -2 

= i(2 · (-2) - 3 · 1) - j(1 · (-2) - 2 · 3) + k(1 · 1 - 2 · 2) =

= i(-4 - 3) - j(-2 - 6) + k(1 - 4) = -7i + 8j - 3k = {-7; 8; -3}
Трикутник побудований на векторах
Приклад 2. Знайти площу трикутника побудованого на векторах a = {-1; 2; -2} і b = {2; 1; -1}.

Розв'язок: Знайдемо векторний добуток цих векторів:

a × b  i   j   k   =
 -1   2   -2 
 2   1   -1 

= i(2 · (-1) - (-2) · 1) - j((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k((-1) · 1 - 2 · 2) =

= i(-2 + 2) - j(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5j - 5k = {0; -5; -5}

З властивостей векторного добутку:

SΔ = 1|a × b| = 102 + 52 + 52125 + 251505√2
22222

Відповідь: SΔ = 2.5√2.

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0