OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Скалярний добуток векторів.

Геометрична інтерпретація. Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює добутку модулів цих векторів помноженому на косинус кута між ними:
a · b = |a| · |b| cos α
Алгебраїчна інтерпретація. Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює сумі попарного добутку відповідних координат векторів a і b.

Формули скалярного добутку векторів заданих координатами

Формули скалярного добутку векторів заданих координатами

У випадку плоскої задачі скалярний добуток векторів a = {ax ; ay} і b = {bx ; by} можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = ax · bx + ay · by

Формула скалярного добутку векторів для просторових задач

У випадку просторової задачі скалярний добуток векторів a = {ax ; ay ; az} і b = {bx ; by ; bz} можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz

Формула скалярного добутку n -вимірних векторів

У випадку n-вимірного простору скалярний добуток векторів a = {a1 ; a2 ; ... ; an} і b = {b1 ; b2 ; ... ; bn} можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + ... + an · bn

Властивості скалярного добутку векторів

  1. Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більше або дорівнює нулю:
    a · a ≥ 0
  2. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:
    a · a = 0   <=>   a = 0
  3. Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:
    a · a = |a|2
  4. Операція скалярного добутку комутативна:
    a · b = b · a
  5. Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні:
    a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a b
  6. (αa) · b = α(a · b)
  7. Операція скалярного добутку дистрибутивна:
    (a + b) · c = a · c + b · c


Приклади задач на скалярний добуток векторів

Приклади обрахунку скалярного добутку векторів для плоских задач

Приклад 1. Знайти скалярний добуток векторів a = {1; 2} і b = {4; 8}.

Розв'язок: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Приклад 2. Знайти скалярний добуток векторів a і b, якщо їх довжини |a| = 3, |b| = 6, та кут між векторами дорівнює 60˚.

Розв'язок: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Приклад 3. Знайти скалярний добуток векторів p = a + 3b і q = 5a - 3 b, якщо їх довжини |a| = 3, |b| = 2, та кут між векторами a і b дорівнює 60˚.

Розв'язок:

p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =

= 5 |a|2 + 12 a · b - 9 |b|2 = 5 · 32 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 22 = 45 +36 -36 = 45.

Приклад обрахунку скалярного добутку векторів для просторових задач

Приклад 4. Знайти скалярний добуток векторів a = {1; 2; -5} і b = {4; 8; 1}.

Розв'язок: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Приклад обрахунку скалярного добутку векторів для n -вимірних векторів

Приклад 5. Знайти скалярний добуток векторів a = {1; 2; -5; 2} і b = {4; 8; 1; -2}.

Розв'язок: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0