OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Колінеарність векторів, умови колінеарності векторів

Означення.
Вектори, що паралельні одній прямій або лежать на одній прямій називаються колінеарними векторами (рис. 1).
Коллинеарные вектора
рис. 1

Умови колінеарності векторів

Два вектора будуть колінеарні при виконанні будь-якої з цих умов:
Умова колінеарності векторів 1.
Два вектора a і b колінеарні, якщо існує число n таке, що

a = n · b
Умова колінеарності векторів 2.
Два вектора колінеарні, якщо відношення їх координат рівні.

N.B. Умову 2 неможливо застосувати, якщо один з компонентів вектора дорівнює нулю.

Умова колінеарності векторів 3.
Два вектори колінеарні, якщо їх векторний добуток дорівнює нуль вектору.

N.B. Умова 3 може бути застосована лише для тривимірних (просторових) задач.


Доведення третьої умови колінеарності

Нехай є два колінеарні вектори a = {ax; ay; az} і b = {nax; nay; naz}. Знайдемо їх векторний добуток

a × b =  ijk  = i (aybz - azby) - j (axbz - azbx) + k (axby - aybx) = 
 ax  ay  az 
 bx  by  bz 

= i (aynaz - aznay) - j (axnaz - aznax) + k (axnay - aynax) = 0i + 0j + 0k = 0


Приклади задач на колінеарність векторів

Приклади задач на колінеарність векторів на площині

Приклад 1. Які з векторів a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} колінеарні?

Розв'язок: Так як вектори не містять компоненти що дорівнюють нулю, то скористаємось другою умовою колінеарності, яка у випадку плоскої задачі для векторів a і b буде мати наступний вигляд:

ax  =  ay .
bx by

Тобто:

Вектора a і b колінеарні т.я.   1  =  2 .
4 8
Вектори a і с не колінеарні т.я.   1  ≠  2 .
5 9
Вектора с і b не колінеарні т.я.   5  ≠  9 .
4 8
Приклад 2. Довести що вектори a = {0; 3} і b = {0; 6} колінеарні.

Розв'язок: Так як вектори мають компоненти що дорівнюють нулю, то скористаємось першою умовою колінеарності, знайдемо чи існує таке число n для якого:

b = na.

Для цього знайдемо ненульовий компонент вектора a в даному випадку це ay. Якщо вектори колінеарні тоді

n =  by  =  6  = 2
ay 3

Знайдемо значення na:

na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}

Так як b = na, то вектори a і b колінеарні.

Приклад 3. Знайти значення параметра n при якому вектори a = {3; 2} і b = {9; n} колінеарні.

Розв'язок: Так як вектори не містять компонентів рівних нулю, то скористаємось другою умовою колінеарності

ax  =  ay .
bx by

Тобто:

3  =  2 .
9 n

Розв'яжемо це рівняння:

n =  2 · 9  = 6
3

Відповідь: вектори a і b колінеарні коли n = 6.

Приклади задач на колінеарність векторів в просторі

Приклад 4. Які з векторів a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} колінеарні?

Розв'язок: Так як вектори не містять компоненти що дорівнюють нулю, то скористаємось другою умовою колінеарності, яка у випадку просторової задачі для векторів a і b буде мати наступний вигляд:

ax  =  ay  =  az .
bx by bz

Тобто:

Вектора a і b колінеарні т.я.   1  =  2  =  3 .
4 8 12
Вектора a і с не колінеарні т.я.   1  =  2  ≠  3 .
5 10 12
Вектора с і b не колінеарні т.я.   5  =  10  ≠  12 .
4 8 12
Приклад 5. Довести що вектори a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} колінеарні.

Розв'язок: Так як вектори мають компоненти що дорівнюють нулю, то скористаємось першою умовою колінеарності, знайдемо чи існує таке число n для якого:

b = na.

Для цього знайдемо ненульовий компонент вектора a в даному випадку це ay. Якщо вектори колінеарні тоді

n =  by  =  6  = 2
ay 3

Знайдемо значення na:

na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}

Так як b = na, то вектори a і b колінеарні.

Приклад 6. Знайти значення параметрів n і m за яких вектори a = {3; 2; m} і b = {9; n; 12} колінеарні.

Розв'язок: Так як вектори не містять компонентів рівних нулю, то скористаємось другою умовою колінеарності

ax  =  ay  =  az .
bx by bz

тобто:

3  =  2  =  m
9 n 12

З цього співвідношення отримаємо два рівняння:

3  =  2
9 n
3  =  m
9 12

Розв'яжемо ці рівняння:

n =  2 · 9  = 6
3
m =  3 · 12  = 4
9

Відповідь: вектори a і b колінеарні коли n = 6 і m = 4.

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0