OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Кут між векторами

Означення.
Кутом між двома векторами, відкладеними від однієї точки, називається найкоротший кут, на який потрібно повернути один з векторів навколо свого початку до положення співнаправленості з іншим вектором.
Кут між векторами
Основне співвідношення.
Косинус кута між векторами дорівнює скалярному добутку векторів, поділеному на добуток модулів векторів.

Формула обрахунку кута між векторами

cos α a·b
|a|·|b|


Приклади задач на обрахунок кута між векторами

Приклади обрахунку кута між векторами для плоских задач

Приклад 1. Знайти кут між векторами a = {3; 4} і b = {4; 3}.

Розв'язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:

a·b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Знайдемо модулі векторів:

|a| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5

Знайдемо кут між векторами:

cos α a · b  =  24  =  24  = 0.96
|a| · |b| 5 · 5 25
Приклад 2. Знайти кут між векторами a = {7; 1} і b = {5; 5}.

Розв'язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:

a·b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Знайдемо модулі векторів:

|a| = √72 + 12 = √49 + 1 = √50 = 5√2
|b| = √52 + 52 = √25 + 25 = √50 = 5√2

Знайдемо кут між векторами:

cos α a · b  =  40  =  40  =  4  = 0.8
|a| · |b| 5√2 · 5√2 50 5

Приклади обрахунку кута між векторами для просторових задач

Приклад 3. Знайти кут між векторами a = {3; 4; 0} і b = {4; 4; 2}.

Розв'язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:

a·b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Знайдемо модулі векторів:

|a| = √32 + 42 + 02 = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √42 + 42 + 22 = √16 + 16 + 4 = √36 = 6

Знайдемо кут між векторами:

cos α a · b  =  28  =  14
|a| · |b| 5 · 6 15
Приклад 4. Знайти кут між векторами a = {1; 0; 3} і b = {5; 5; 0}.

Розв'язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:

a·b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Знайдемо модулі векторів:

|a| = √12 + 02 + 32 = √1 + 9 = √10
|b| = √52 + 52 + 02 = √25 + 25 = √50 = 5√2

Знайдемо кут між векторами:

cos α =  a · b  =  5  =  1  =  5  = 0.1√5
|a| · |b| 10 · 5√2 2√5 10

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0