OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Мішаний добуток векторів

Означення. Мішаний добуток векторів — це скалярний добуток вектора a на векторний добуток векторів b і c.

Формула обрахунку мішаного добутку векторів

Мішаний добуток векторів дорівнює визначнику матриці, отриманої з цих векторів.

Мішаний добуток векторів a = {ax; ay; az}, b = {bx; by; bz} и c = {cx; cy; cz} в декартовій системі координат можна обрахувати, скориставшись наступною формулою:

a · [b × c] =  ax  ay  az 
 bx  by  bz 
 cx  cy  cz 

Властивості мішаного добутку векторів

  • Геометричний зміст мішаного добутку.
    Модуль мішаного добутку трьох векторів a, b і с дорівнює об'єму паралелепіпеда, утвореного цими векторами:
    Vпарал = |a · [b × c]|
  • Геометричний зміст мішаного добутку.
    Об'єм піраміди утвореної трьома векторами a, b і с дорівнює одній шостій частині від модуля мішаного добутку цих векторів:
    Vпир1|a · [b × c]|
    6
  • Якщо мішаний добуток трьох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори компланарні.
  • a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)
  • a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]
  • a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 - тотожність Якобі.

Приклади задач на обрахунок мішаного добутку векторів

Приклад 1. Знайти мішаний добуток векторів a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Розв'язок:

a · [b × с] =    1     2     3    =
  1     1     1  
  1     2     1  

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
піраміда побудована на векторах
Приклад 2.
Знайти об'єм піраміди побудованої на векторах a = {1; 2; 3}, b = {1; -1; 1}, c = {2; 0; -1}.

Розв'язок: Знайдемо мішаний добуток цих векторів:

a · [b × с] =    1     2     3    =
  1     -1     1  
  2     0     -1  

= 1·(-1)·(-1) + 2·1·2 + 3·1·0 - 3·(-1)·2 - 2·1·(-1) - 1·1·0 =

= 1 + 4 + 0 + 6 + 2 - 0 = 13

Знайдемо об'єм піраміди скориставшись властивостями:

Vпир1|a · [b × c]| = 13 = 21
666

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0