OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Напрямні косинуси вектора

Означення напрямних косинусів

Означення.
Напрямні косинуси вектора (направляючі косинуси вектора) a – це косинуси кутів, які вектор утворює з додатними півосями координат.

Напрямні косинуси однозначно задають напрямок вектора.

Основне співвідношення.
Щоб знайти напрямні косинуси вектора a необхідно відповідні координати вектора поділити на модуль вектора.

Відповідні координати одиничного вектора дорівнюють його напрямними косинусам.

Властивість напрямних косинусів.
Сума квадратів напрямних косинусів дорівнює одиниці.

Формули обрахунку напрямних косинусів вектора

Формула обрахунку напрямних косинусів вектора для плоских задач

У випадку плоскої задачі (рис. 1) напрямні косинуси вектора a = {ax ; ay} можна знайти скориставшись наступною формулою

cos α = ax;   cos β = ay
|a||a|

Властивість:

cos
2 α + cos2 β = 1
напрямні косинуси вектора
рис. 1

Формула обрахунку напрямних косинусів вектора для просторових задач

У випадку просторової задачі (рис. 2) напрямні косинуси вектора a = {ax ; ay ; az} можна знайти скориставшись наступною формулою

cos α = ax;   cos β = ay;   cos γ = az
|a||a||a|

Властивість:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
напрямні косинуси вектора
рис. 2


Приклади задач з напрямними косинусами вектора

Приклади плоских задач з напрямними косинусами вектора

Приклад 1. Знайти напрямні косинуси вектора a = {3; 4}.

Розв'язок:

Знайдемо модуль вектора a:
|a| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5.

Знайдемо напрямні косинуси вектора a:
cos α = ax = 3 = 0.6
|a|5
cos β = ay = 4 = 0.8
|a|5

Відповідь: напрямні косинуси вектора cos α = 0.6, cos β = 0.8.

Приклад 2. Знайти значення вектора a якщо його довжина дорівнює 26, а напрямні косинуси cos α = 5/13, cos β = -12/13.

Розв'язок:

ax = |a| · cos α = 26 · 5/13 = 10
ay = |a| · cos β = 26 · (-12/13) = -24

Відповідь: a = {10; -24}.

Приклади просторових задач з напрямними косинусами вектора

Приклад 3. Знайти напрямні косинуси вектора a = {2; 4; 4}.

Розв'язок:

Знайдемо модуль вектора a:
|a| = √22 + 42 + 42 = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Знайдемо напрямні косинуси вектора a:
cos α = ax = 2 = 1
|a|63
cos β = ay = 4 = 2
|a|63
cos γ = az = 4 = 2
|a|63

Відповідь: напрямні косинуси вектора cos α = 13, cos β = 23, cos γ = 23.

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0