OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Лінійно залежні і лінійно незалежні вектори

Означення. Лінійною комбінацією векторів a1, ..., an з коефіцієнтами x1, ..., xn називається вектор

x1a1 + ... + xnan.
Означення. Лінійна комбінація x1a1 + ... + xnan називається тривіальною, якщо всі коефіцієнти x1, ..., xn дорівнюють нулю.
Означення. Лінійна комбінація x1a1 + ... + xnan називається нетривіальною, якщо хоча б один з коефіцієнтів x1, ..., xn не дорівнює нулю.
Означення. Вектори a1, ..., an називаються лінійно незалежними, якщо не існує нетривіальної комбінації цих векторів що дорівнює нульовому вектору.
Тобто вектори a1, ..., an лінійно незалежні якщо x1a1 + ... + xnan = 0 тоді і тільки тоді, коли x1 = 0, ..., xn = 0.
Означення. Вектори a1, ..., an називаються лінійно залежними, якщо існує нетривіальна комбінація цих векторів що дорівнює нульовому вектору.

Властивості лінійно залежних векторів:

  • Для 2-х і 3-х вимірних векторів.
    Два лінійно залежних вектора - колінеарні. (Колінеарні вектори - лінійно залежні.)
  • Для 3-х вимірних векторів.
    Три лінійно залежних вектора - компланарні. (Три компланарні вектора - лінійно залежні.)
  • Для n -вимірних векторів.
    n + 1 вектор завжди лінійно залежні.


Приклади задач на лінійну залежність та лінійну незалежність векторів:

Приклад 1. Перевірити чи будуть вектори a = {3; 4; 5}, b = {-3; 0; 5}, c = {4; 4; 4}, d = {3; 4; 0} лінійно незалежними.

Розв'язок:

Вектори будуть лінійно залежними, так як розмірність векторів менша за кількість векторів.

Приклад 2. Перевірити чи будуть вектори a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1} лінійно незалежними.

Розв'язок: Знайдемо значення коефіцієнтів при яких лінійна комбінація цих векторів буде дорівнювати нульовому вектору.

x1a + x2b + x3c1 = 0

Це векторне рівняння можна записати у вигляді системи лінійних рівнянь

{  x1 + x2 = 0
x1 + 2x2 - x3 = 0
x1 + x3 = 0

Розв'яжемо цю систему скориставшись методом Гауса

(   1     1     0     0   )  ~
  1     2     -1     0  
  1     0     1     0  

від другої строки віднімемо першу; від третьої строки віднімемо першу:

(   1     1     0     0   )   ~    (   1     1     0     0   )  ~
  1 - 1     2 - 1     -1 - 0     0 - 0     0     1     -1     0  
  1 - 1     0 - 1     1 - 0     0 - 0     0     -1     1     0  

від першої стрічки віднімемо другу; до третьої стрічки додамо другу:

(   1 - 0     1 - 1     0 - (-1)     0 - 0   )   ~    (   1     0     1     0   )
  0     1     -1     0     0     1     -1     0  
  0 + 0     -1 + 1     1 + (-1)     0 + 0     0     0     0     0  

Цей розв'язок показує, що система має множину розв'язків, тобто існує не нульова комбінація значень чисел x1, x2, x3 таких, що лінійна комбінація векторів a, b, c дорівнює нульовому вектору, наприклад:

-a + b + c = 0

а це означає що вектори a, b, c лінійно залежні.

Відповідь: вектори a, b, c лінійно залежні.

Приклад 3. Перевірити чи будуть вектори a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 2} лінійно незалежними.

Розв'язок: Знайдемо значення коефіцієнтів при яких лінійна комбінація цих векторів буде дорівнювати нульовому вектору.

x1a + x2b + x3c1 = 0

Це векторне рівняння можна записати у вигляді системи лінійних рівнянь

{  x1 + x2 = 0
x1 + 2x2 - x3 = 0
x1 + 2x3 = 0

Розв'яжемо цю систему використовуючи метод Гауса

(   1     1     0     0   )  ~
  1     2     -1     0  
  1     0     2     0  

від другої строки віднімемо першу; від третьої строки віднімемо першу:

(   1     1     0     0   )   ~    (   1     1     0     0   )  ~
  1 - 1     2 - 1     -1 - 0     0 - 0     0     1     -1     0  
  1 - 1     0 - 1     2 - 0     0 - 0     0     -1     2     0  

від першої строки віднімемо другу; до третьої строки додамо другу:

(   1 - 0     1 - 1     0 - (-1)     0 - 0   )   ~    (   1     0     1     0   )  ~
  0     1     -1     0     0     1     -1     0  
  0 + 0     -1 + 1     2 + (-1)     0 + 0     0     0     1     0  

від першої строки віднімемо третю; до другої строки додамо третю:

(   1 - 0     0 - 0     1 - 1     0 - 0   )   ~    (   1     0     0     0   )
  0 + 0     1 + 0     -1 + 1     0 + 0     0     1     0     0  
  0     0     1     0     0     0     1     0  

Даний розв'язок показує, що система має єдиний розв'язок x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, а це означає що вектори a, b, c лінійно незалежні.

Відповідь: вектори a, b, c лінійно незалежні.

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0