OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Ортогональність векторів

Означення.
Вектори a і b називаються ортогональними, якщо кут між ними дорівнює 90°. (рис. 1).
ортогональні вектори
рис. 1
Умови ортогональності векторів. Два вектори a і b ортогональні (перпендикулярні), якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.
a · b = 0

Приклади задач на ортогональність векторів

Приклади плоских Приклади задач на ортогональність векторів

Так у випадку плоскої задачі для векторів a = {ax; ay} і b = {bx; by} умова ортогональності запишеться наступним чином:

a · b = ax · bx + ay · by = 0

Приклад 1. Довести що вектори a = {1; 2} і b = {2; -1} ортогональні.

Розв'язок:

Знайдемо скалярний добуток цих векторів:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) = 2 - 2 = 0

Відповідь: так як скалярний добуток дорівнює нулю, то вектори a і b ортогональні.

Приклад 2. Перевірити чи є вектори a = {3; -1} і b = {7; 5} ортогональними.

Розв'язок:

Знайдемо скалярний добуток цих векторів:

a · b = 3 · 7 + (-1) · 5 = 21 - 5 = 16

Відповідь: так як скалярний добуток не дорівнює нулю, то вектори a і b не ортогональні.

Приклад 3. Знайти значення числа n при якому вектори a = {2; 4} і b = {n; 1} будуть ортогональні.

Розв'язок:

Знайдемо скалярний добуток цих векторів:

a · b = 2 · n + 4 · 1 = 2n + 4
2n + 4 = 0
2n = -4
n = -2

Відповідь: вектори a і b будуть ортогональні, якщо n = -2.

Приклади просторових задач на ортогональність векторів

Так у випадку просторової задачі для векторів a = {axayaz} і b = {bxbybz} умова ортогональності запишеться наступним чином:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0

Приклад 4. Довести що вектори a = {1; 2; 0} і b = {2; -1; 10} ортогональні.

Розв'язок:

Знайдемо скалярний добуток цих векторів:

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) + 0 · 10 = 2 - 2 + 0 = 0

Відповідь: так як скалярний добуток дорівнює нулю, то вектори a і b ортогональні.

Приклад 5. Перевірити чи є вектори a = {2; 3; 1} і b = {3; 1; -9} ортогональними.

Розв'язок:

Знайдемо скалярний добуток цих векторів:

a · b = 2 · 3 + 3 · 1 + 1 · (-9) = 6 + 3 -9 = 0

Відповідь: так як скалярний добуток дорівнює нулю, то вектори a і b ортогональні.

Приклад 6. Знайти значення числа n при якому вектори a = {2; 4; 1} і b = {n; 1; -8} будуть ортогональні.

Розв'язок:

Знайдемо скалярний добуток цих векторів:

a · b = 2 · n + 4 · 1 + 1 · (-8)= 2n + 4 - 8 = 2n - 4
2n - 4 = 0
2n = 4
n = 2

Відповідь: вектори a і b будуть ортогональні, якщо n = 2.

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0