OnlineMSchool
Вивчення математики онлайн.
Вивчайте математику з нами і переконайтесь: "Математика - це просто!"

Компланарність векторів. Умови компланарності векторів

Означення.
Вектори, які паралельні одній площині або лежать на одній площині називаються компланарними векторами. (рис. 1).
Компланарные вектора
рис. 1

Завжди можливо знайти площину паралельну двом довільним векторам, тому будь-які два вектори завжди компланарні.


Умови компланарності векторів

  • Для 3-х векторів. Три векторі компланарні якщо їх мішаний добуток дорівнює нулю.
  • Для 3-х векторів. Три вектори компланарні якщо вони лінійно залежні.
  • Для n векторів. Вектори компланарні якщо серед них не більш ніж два лінійно незалежних векторів.


Приклади задач на компланарність векторів

Приклад 1. Перевірити чи компланарні три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Розв'язок: Знайдемо мішаний добуток цих векторів

a · [b × с] =    1     2     3    =
  1     1     1  
  1     2     1  

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

Відповідь: вектори не компланарні так, як їх мішаний добуток не дорівнює нулю.

Приклад 2. Довести що три вектори a = {1; 1; 1}, b = {1; 3; 1} і c = {2; 2; 2} компланарні.

Розв'язок: Знайдемо мішаний добуток цих векторів

a · [b × с] =    1     1     1    =
  1     3     1  
  2     2     2  

= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 - 1·2·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 6 + 2 + 2 - 6 - 2 - 2 = 0

Відповідь: вектори компланарні так, як їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Приклад 3. Перевірити чи компланарні вектори a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1}, d = {3; 3; 3}.

Розв'язок: Знайдемо кількість лінійно незалежних векторів, для цього запишемо значення векторів в матрицю, і виконаємо над нею елементарні перетворення

(   1     1     1   )  ~
  1     2     0  
  0     -1     1  
  3     3     3  

від 2-гої стрічки віднімемо 1-шу; від 4-тої стрічки віднімемо 1-шу помножену на 3

(   1     1     1   )  ~  (   1     1     1   )  ~ 
  1 - 1     2 - 1     0 - 1     0     1     -1  
  0     -1     1     0     -1     1  
  3 - 3     3 - 3     3 - 3     0     0     0  

до 3-тьої стрічки додамо 2-гу

(   1     1     1   )  ~  (   1     1     1   )
  0     1     -1     0     1     -1  
  0 + 0     -1 + 1     1 + (-1)     0     0     0  
  3 - 3     3 - 3     3 - 3     0     0     0  

Так як залишилось лише дві ненульові стрічки, то серед приведених векторів лише два лінійно незалежних вектора.

Відповідь: вектори компланарні так, як серед приведених векторів лише два лінійно незалежних вектора.

Інформацію про оновлення та новини сайту дивіться на сторінці у facebook.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

0